CABRI - GÉOMÈTRE II

Atividades:
Construindo Gráficos com Cabri

I) CONCORDÂNCIA ENTRE ARCOS

ATIVIDADES

Lembrando, sempre, dos princípios fundamentais resolva as atividades a seguir:

Atividade 1: Concordância de dois ou mais arcos
Atividade 2: Concordância de um arco por um outro passando por um ponto
Atividade 3: Concordância de dois arcos por um terceiro
Atividade 4: Concordância de dois arcos por um terceiro de raio dado
Atividade 5: Concordância de dois arcos de sentidos opostos por dois de mesmo sentido
Atividade 6: Construir o símbolo Yin-Yang

1) Concordar dois ou mais arcos de circunferência de duas maneiras diferentes.

ORIENTAÇÕES PARA O PROFESSOR

Atividade 1

Observe que os centros e o ponto de concordância estão na mesma reta, e que as circunferências são tangentes nos pontos de concordância.

2) Concordar um arco com um outro passando por um ponto dado.

a) Construa uma circunferência de centro O e raio AO e um ponto C fora dela.
b) Determine o arco AB nessa circunferência.
c) Explique como construir um arco BC em concordância com o arco AB.
d) Use o seu procedimento para construir o arco BC.
e) Movimente o ponto B e observe a posição dos pontos O, B e O’ (centro da circunferência suporte do arco BC.
f) O que você pode concluir?

ORIENTAÇÕES PARA O PROFESSOR

Atividade 2

Se B é o ponto de concordância, devemos construir uma circunferência que passa por C e tangencia a circunferência dada no ponto B, isto é, B e C são pontos que pertencem a essa circunferência. Assim o centro O’ da circunferência procurada deverá ser eqüidistante dos pontos B e C, pertencer à reta que passa por O e O’ e por B deverá passar uma tangente às duas circunferências suporte, respeitando os princípios da concordância.
A curva obtida recebe o nome de curva reversa.
A manipulação do ponto C, do arco AB ou da medida do raio AO, nos fornece outras construções do mesmo tipo.

3) Concordar dois arcos de mesmo sentido com um outro arco de sentido oposto.

a) Construa uma circunferência de centro O e raio AO, determinando sobre ela o arco AB.
b) Construa uma outra circunferência (externa à anterior) de centro O’ e raio O’C.
c) Determine na circunferência de centro O’ um ponto D tal que o arco BD concorde com as circunferências iniciais nos pontos B e D.
d) movimente sua construção e enuncie o processo utilizado.

ORIENTAÇÕES PARA O PROFESSOR

Atividade 3

Se B é ponto de concordância, queremos construir uma circunferência que tangencie as circunferências dadas no ponto B e num ponto D que será determinado com a construção, na circunferência de centro O’.
O centro P da nova circunferência deve pertencer às retas que passam por OB e por O’D, respeitando a condição de que .
Para resolver o problema, traçamos a reta t passando por O e por B, e vamos pensar em um triângulo isósceles que tenha PB e PD como medidas dos lados. Para isso, construindo a partir de B uma circunferência de raio O’C, vamos determinar um ponto Q, na reta t e interno à circunferência de centro O, de tal forma que . Se olharmos o segmento QO’ como sendo a base de um triângulo isósceles, qualquer ponto de sua mediatriz terá igual distância aos pontos Q e O’, em particular teremos um ponto P tal que , que deve pertencer à reta t. Logo, a interseção desta reta com a mediatriz nos dará o ponto P procurado.
Podemos observar que e também, que os pontos O, B e P são colineares, bem como os pontos O’, D e P.
Se tomarmos Q como a interseção externa à circunferência de centro O, teremos também uma concordância porém, de arcos de sentidos opostos.

4) Concordar dois arcos por meio de outro arco de raio dado.

a) Construa a circunferência de centro O e raio OA, a circunferência de centro O’ e raio O’B (externa à circunferência anterior) e um segmento qualquer para ser o raio da circunferência concordante.
b) Determine o ponto X, centro da circunferência concordante, lembrando que XA = XB = a.

ORIENTAÇÕES PARA O PROFESSOR

Atividade 4

Queremos concordar dois arcos por um terceiro, que está em uma circunferência de raio dado a. Precisamos então determinar o centro X dessa circunferência e os pontos de tangência A e B das circunferências dadas.
Já sabemos que o ponto X deve pertencer à reta que passa por O e pelo ponto de concordância A na circunferência de centro O, que deve pertencer também à reta que passa por O’ e pelo ponto de concordância B da circunferência de centro O’ e que deve estar a uma distância a das circunferências dadas.
Como o ponto X deve estar na circunferência de centro P e raio a e também na circunferência de centro em Q e raio a. Logo X deve ser a interseção dessas circunferências.
A reta OX determinará o ponto de concordância A na interseção com a circunferência de centro O e a circunferência de centro em X e raio XA determinará o ponto B na interseção com a circunferência de centro O’. Observe que o triângulo é isósceles e que os pontos X, B e O’ são colineares.

Deve-se tomar alguns cuidados nesta construção. O raio dado a representado na construção pelo segmento XA, pode não ser adequado para a distância entre as duas circunferências, não permitindo a interseção da circunferência de centro X com a circunferência de centro O’, por exemplo. Isto será percebido na manipulação da figura.
Outras concordâncias poderão ser feitas a partir dessa, como por exemplo, entre duas circunferências dadas de mesmo raio, por dois arcos também de mesmo raio dado.

5) Concordar dois arcos de sentidos opostos por dois arcos de mesmo sentido.

a) Construa a circunferência de centro O e raio OQ e a circunferência de centro O’ e raio O’P, conforme figura abaixo, que conterão os arcos de mesmo sentido.

b) Determine o ponto X, centro da circunferência que tangencia externamente as duas circunferências (atividade 3).
c) Determine o ponto X’, centro da circunferência que terá as duas circunferências dadas tangenciando-a internamente.

ORIENTAÇÕES PARA O PROFESSOR

Atividade 5

Para resolver o problema precisamos determinar duas circunferências: uma que tangencia externamente as circunferências dadas e outra que terá estas duas circunferências tangenciando-a internamente.
A primeira será tangente a circunferência de centro O’ no ponto P e a segunda será tangente à circunferência de centro O no ponto Q.
Para obter o ponto X centro da primeira circunferência procurada, basta rever a atividade 3 e construir uma circunferência tangente externamente às duas circunferências dadas.
O ponto X’, centro da segunda circunferência que procuramos, deve estar na reta que passa por O e Q e à mesma distância do ponto Q, da circunferência de centro O, e de um ponto a ser determinado na circunferência de centro O’.
Se com centro em Q traçarmos a circunferência de raio O’P, obtemos o ponto T na reta OQ que nos permitirá dizer que , ou seja que X’ está na mediatriz do segmento TO’, e por conseguinte na interseção na mediatriz com a reta OQ.
A movimentação dos pontos P e Q pode fazer com que os arcos dados tornem-se de mesmo sentido, alterando a configuração do problema.

6) Construir o símbolo Yin-Yang.

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