Atividades:
Construindo Gráficos com Cabri |
III)
CONCORDÂNCIA ENTRE RETAS E ARCOS
ATIVIDADES
Atividade
1: Concordância de
uma semi-reta por um ou mais arcos.
Atividade 2: Concordância de
uma semi-reta com um arco por um ponto dado
Atividade 3: Concordância de
duas retas concorrentes por arcos
Atividade 4: Concordância de duas retas concorrentes
por um arco de raio dado
Atividade 5: Concordância de duas retas concorrentes
por um arco tangente a uma terceira reta
Atividade 6: Concordância de uma reta e um arco
por um outro arco
Atividade 7: Concordância de uma reta e um arco
por um arco de raio dado
Atividade 8: Concordância de duas semi-retas
paralelas de mesmo sentido por dois arcos
Atividade 9: Concordância de duas semi-retas
paralelas de sentidos opostos por dois arcos
Atividade 10: Ligar duas semi-retas paralelas por
uma curva sinuosa
1ª Solução
2ª Solução
3ª Solução
Atividade 11: Reprodução de uma figura que
apresenta concordâncias
1)
Lembrando do primeiro princípio fundamental da
concordância, concordar uma semi-reta com um ou
mais arcos.
ORIENTAÇÕES
PARA O PROFESSOR
Atividade
1
Se
queremos, concordar uma semi-reta com origem em A,
com um arco de circunferência, precisamos determinar
o centro da circunferência tangente à semi-reta
em A. Os candidatos a centro estarão na perpendicular à semi-reta
que passa por A e vários arcos poderão
ser determinados.
2)
Concordar uma semi-reta com um arco passando por um ponto.
a)
Construa uma semi-reta qualquer com origem no ponto A e
um ponto B fora dela.
b)
Determine o ponto O, centro da circunferência
que passa por B e tangencia a semi-reta no ponto A. Lembre-se que 
.
ORIENTAÇÕES
PARA O PROFESSOR
Atividade
2
Queremos
uma circunferência que passe pelo ponto B e
que tangencie a semi-reta na sua origem A.
Sabemos
que o centro O, dessa circunferência, deverá estar
na perpendicular à semi-reta pelo ponto A e
que 
,
isto é, O pertence também à mediatriz
de AB.
3)
Concordar duas retas concorrentes por arcos de raios
arbitrários.
a)
Trace duas reta r e s concorrentes.
b)
Explique como construir arcos em concordância com
as reta r e s.
c)
Use o seu processo para fazer a construção.
d)
Verifique com o Cabri se a sua construção
está correta.
e)
Como fazer a mesma construção se o ponto
de interseção de r e s não
estiver visível na tela?
ORIENTAÇÕES
PARA O PROFESSOR
Atividade
3
Queremos
concordar duas retas concorrentes r e s por
vários arcos. Como, os arcos devem ter seus centros
a uma mesma distância das duas retas, deverão
estar na bissetriz do ângulo agudo formado por r e s.
Traçando retas perpendiculares a r ou s,
nos pontos de concordância desejados, suas interseções
com a bissetriz serão os centros dos arcos procurados.
Se
estivermos em uma situação em que o ponto de
interseção das retas é desconhecido
(figura abaixo), basta traçar retas paralelas às
retas dadas, internamente à elas, a uma mesma distância
de ambas, de forma que se interceptem, e aplicar o método
acima.
4)
Concordar duas retas concorrentes por um arco de raio
dado.
a)
Trace duas retas r e s concorrentes.
b)
Trace um segmento de medida a.
c)
Determine o ponto X, centro da circunferência
de raio a que é tangente à reta r e à reta s. Lembre-se que
se P é o ponto de tangencia da reta r e Q o
ponto de tangencia da reta s, 
e
você deve procurar os pontos que estão a uma
distância a da reta r e os pontos que
estão a uma distância a da reta s.
ORIENTAÇÕES
PARA O PROFESSOR
Atividade
4
A
circunferência procurada deverá ser tangente à reta r num
ponto S e ter uma tangente comum com a circunferência
dada em P.
Sabemos que o centro X de
concordância pertence à reta que passa por O e P e
que 
.
Traçando uma reta t,
tangente à circunferência no ponto P, teremos t concorrente à reta r num
ponto Q. Com isso, podemos perceber, que o ponto X terá que
ser eqüidistante às duas retas, isto é, pertence à bissetriz
do ângulo agudo formado por elas e será a interseção
da bissetriz com a reta OP.
5)
Concordar duas retas concorrentes por meio de um arco
tangente a uma terceira reta.
a)
Trace as retas r, s e t concorrentes
duas a duas.
b)
Determine o ponto O, centro da circunferência
que tangencia as retas r, s e t.
Você deve
procurar os pontos equidistantes das três retas.
ORIENTAÇÕES
PARA O PROFESSOR
Atividade
5
Queremos
concordar a reta r e a circunferência dada
através de um arco AB que tenha raio a.
Temos que encontrar o centro de concordância X,
que já sabemos, pertence à reta que passa
por O e A, e também, determinar em
r um ponto B de forma que 
.
Se
traçarmos uma reta s paralela à reta r de
forma que a distância entre r e s seja a,
qualquer um de seus pontos estará a uma distância a da
reta r. Se traçarmos uma circunferência
com centro em O e raio 
,
qualquer ponto dessa nova circunferência estará a
uma distância a de qualquer ponto da circunferência
de raio OA. Logo, o ponto X estará na
interseção da circunferência de raio com
a reta s.
Observe
que temos uma outra interseção X’ e
que a perpendicular à reta r passando por X’ determina
em r o ponto B’ e que a circunferência
de centro em X’ e raio X’B’ nos dará na
circunferência de raio OA o outro ponto de
concordância A’.
6)
Concordar uma reta e um arco de circunferência
por um outro arco.
a)
Trace uma reta r qualquer, externa a uma circunferência
de centro O e raio OP.
b)
Construa a circunferência de centro X, tangente à reta r e
tangente à circunferência no ponto P.
Você deve lembrar que
o ponto X está na reta OP e que a
distância de P até X é a
mesma que a distância de X até um ponto S da
reta r.
ORIENTAÇÕES
PARA O PROFESSOR
Atividade
6
Queremos
construir uma circunferência de raio a tangente às
retas r e s. Para isso, precisamos determinar
o centro X dessa circunferência e os pontos
de tangência P e Q nas retas r e s respectivamente,
sabendo que 
Por
um ponto B qualquer da reta r podemos traçar
uma perpendicular à r e nela determinar o
ponto R de forma que 
,
o mesmo podemos fazer por um ponto C da reta s e
obter o ponto S tal que 
. Como
qualquer ponto da reta paralela à r passando
por R e da reta paralela à s passando
por S, está a uma distância a de r e s,
respectivamente, o ponto X de interseção
dessas paralelas será o centro de concordância
procurado.
Traçando
por X uma perpendicular à reta r obteremos
em r, o ponto de tangência P e a circunferência
de centro X e raio XP nos dará o outro
ponto de tangência Q na reta s e o
arco de concordância PQ procurado.
7)
Concordar uma reta e um arco por meio de um arco de raio
dado.
a)
Trace uma reta r qualquer externa à circunferência
de centro O e raio OA.
b)
Trace um segmento qualquer de medida a.
c)
Determine o ponto X, centro da circunferência
de raio a, que é tangente à circunferência
no ponto A e tangente à reta r em
um ponto B.
Lembre-se que
como 
,
você deve procurar os pontos que estão a uma
distância a do ponto A e os pontos
que estão a uma distância a da reta r.
OBS.:
O problema admite duas soluções.
ORIENTAÇÕES
PARA O PROFESSOR
Atividade
7
Neste
caso, temos três retas concorrentes e queremos um
arco concordando duas delas, r e s, e tangente à terceira t.
Como o centro X do arco
procurado deverá estar à mesma distância de r e t e
simultaneamente, à uma mesma distância das retas s e t,
temos que determinar as bissetrizes dos ângulos agudos formados por esses
pares de retas. A interseção das bissetrizes nos dará o
ponto X centro de concordância procurado e o raio será determinado
pela interseção da reta perpendicular à reta t passando
por X.
8)
Concordar duas semi-retas paralelas de mesmo sentido,
por meio de dois arcos em concordância.
a)
Trace duas semi-retas paralelas de mesmo sentido. Uma com
origem no ponto A e outra com origem em B.
b)
Determine o centro O da circnferência que
tangencia a semi-reta em A e o centro O’ da
circunferência que tangencia a semi-reta em B,
de modo que as duas circunferências sejam tangentes
num ponto F.
Lembre-se,
em primeiro lugar, que os centros procurados devem estar
nas perpendiculares às semi-retas que
passam por A e B.
E que, a reta paralela às semi-retas, que passa
pelo ponto médio de 
,
representa todos os pontos equidistantes de A e B.
E ainda, que se F é o ponto de tangência
das circunferências procuradas 
e 
.
ORIENTAÇÕES
PARA O PROFESSOR
Atividade
8
Se
queremos concordar duas semi-retas paralelas nas suas origens A e B,
devemos traçar, por esses pontos, as retas r e s perpendiculares à ambas,
que não sejam coincidentes. Neste caso, teremos
necessidade de dois arcos concordantes, pois os centros
de concordância que procuramos pertencem às
retas r e s.
Inicialmente vamos procurar o
ponto F de concordância dos dois arcos. Determinando o ponto E,
médio de 
e por
ele traçando uma paralela às semi-retas dadas, podemos determinar
nessa paralela o ponto F tal que 
.
Sabemos que na reta r deve existir um ponto O tal que 
e
que na reta s deve existir um ponto O’ de forma que 
,
que são facilmente obtidos com as mediatrizes de 
e 
.
A manipulação dos
pontos A e B sobre as retas suportes das semi-retas permite outras
construções, inclusive aquela em que r e s coincidem
e a concordância passa a ser feita por um único arco.
9)
Concordar duas semi-retas paralelas, de sentidos opostos,
por meio de dois arcos em concordância.
a)
Trace duas semi-retas paralelas de sentidos opostos. Uma
com origem em A e outra com origem em B.
b)
Determine o centro O da circunferência que
tangencia a semi-reta em A e o centro O’ da
circunferência que tangencia a semi-reta em B,
de modo que as duas circunferências sejam tangentes
em um ponto E.
Lembre-se que O e O’ devem
estar nas perpendiculares às semi-retas pelos pontos A e B e
que 
e 
.
ORIENTAÇÕES
PARA O PROFESSOR
Atividade
9
Traçando
por A e B, respectivamente, as retas r e s perpendiculares às
semi-retas dadas, de forma que não sejam coincidentes,
sabemos que nessas retas estarão os centros de concordância
que procuramos.
Como os arcos concordantes têm
sentidos contrários, podemos tomar, no segmento AB um ponto E qualquer,
como ponto de concordância desses dois arcos. O arco que tem concordância
em A deve ter seu centro O na interseção da reta r e
da mediatriz de 
e o centro O’ do
arco que tem concordância em B, na interseção da reta s com
a mediatriz de 
.
A manipulação
deverá propiciar outras construções, inclusive aquela em
que r e s coincidem.
10)
Unir duas semi-retas paralelas, de mesmo sentido por
uma curva sinuosa.
ORIENTAÇÕES
PARA O PROFESSOR
Atividade
10
Para
esta atividade temos uma solução geral e
duas mais especiais.
Nestes
casos, não estamos concordando simultaneamente os
dois arcos, que formam a curva sinuosa, com as semi-retas,
mas sim ligando as duas semi-retas por essa curva.
1ª Solução: Uma
curva sinuosa qualquer.
Precisamos
encontrar os centros O e O’ das circunferências
que compõem a curva sinuosa e o ponto C de
tangência entre essas circunferências.
Já sabemos que o centro O deve
estar na reta r, perpendicular às semi-retas passando por A e
que 
. E também,
que o centro O’ deve estar na retas s, perpendiculares às
semi-retas passando por B e que 
.
Assim, se tomarmos 
um
ponto C qualquer, o ponyo O será a interseção de r com
a mediatriz de 
e o ponto O’,
interseção da reta s com a mediatriz de 
.
2ª Solução: Curva
sinuosa do tipo cimalha.
Já sabemos
que os centros procurados O e O’ devem estar
nas retas r e s perpendiculares às
semi-retas que passam respectivamente por A e B,
e devem também estar a uma mesma distância
dos pontos A e B. Tomando o ponto C médio
de 
,
para ponto de concordância das duas curvas, os centros O e O’ estarão
nas interseções das mediatrizes de 
e 
com
as respectivas perpendiculares, s e r.
3ª Solução: Curva
sinuosa do tipo gola
Para
construir esse novo tipo de curva sinuosa, é necessário
determinar o ponto E, médio de 
e
traçar a circunferência de centro em E e
raio EA. Com centro em B e raio BE traçar
uma circunferência que interceptará a circunferência
de centro em E no ponto P, do lado direito
do segmento AB. Determinamos, também, o ponto P’ simétrico
do ponto P em relação ao ponto E.
P e P’ serão
os centros dos arcos procurados. O problema terá outra solução
através dos simétricos de P e P’ em relação
ao segmento AB.
11)
Observe as concordâncias na figura abaixo e construa
uma figura semelhante.
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sugestões para: zeze@proem.pucsp.br ou saddoag@exatas.pucsp.br ou rosana@proem.pucsp.br
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