Atividades: Propriedades e Construções Geométricas

Resolvendo equações de terceiro grau

As atividades a seguir têm por objetivo estudar dois métodos de resolução de equações de terceiro grau: o Método de Omar Khayyam, geométrico; e a Fórmula de Cardano, algébrico.
O método de Omar Khayyam consiste em escrever uma equação de terceiro grau como uma equação em que o primeiro membro é uma equação de uma parábola e o segundo membro a equação de uma hipérbole da seguinte forma:

Construindo os gráficos da parábola e da hipérbole em um mesmo plano cartesiano, temos que suas intersecções são as raízes da equação de terceiro grau estudada. Para usar este método, então, é necessário que o aluno já tenha prévios conhecimentos de cônicas. Assim, esta pode ser uma amostra de como as cônicas podem ser uma ferramenta na solução de um problema.
A atividade "Encontro" tenta levar o aluno a resolver geometricamente o problema que lhe foi apresentado. É possível que sua primeira tentativa seja algébrica, mas ele se deparará com uma equação de terceiro grau que não poderá ser resolvida pelo dispositivo de Briot-Ruffini. O professor pode, então, tentar induzi-lo a construir os gráficos das funções f e g.
A atividade "Duplicação do Cubo" é usada por ter sido este problema o gerador do desenvolvimento das cônicas, mas se trata também da resolução de uma equação de terceiro grau.
A atividade "Método de Omar Khayyam" tem como objetivo institucionalizar este método. Uma equação de terceiro grau completa é usada pois este foi o tipo de equação constatado como sendo o que os alunos têm maior dificuldade.
Para introduzir a fórmula de Cardano, construímos a atividade "Cardano", na tentativa de fazer com que os próprios alunos desenvolvessem essa fórmula.
Por último, a atividade "Comparação" vem pedir para que os alunos comparem estes dois métodos de resolução, questionando suas utilidades e verificando suas diferenças.
Queremos mostrar que o método geométrico de Omar Khayyam é sempre eficiente, embora nos dê apenas valores aproximados para as raízes da equação estudada. A fórmula de Cardano, entretanto, muitas vezes necessita do conhecimento de números complexos, o que pode ser um obstáculo para os alunos.
É possível que métodos geométricos tenham sido os primeiros a serem utilizados para a resolução de equações e, entre eles, está o método de Omar Khayyam. Esse é um método que nos possibilita verificar a existência de raízes reais da equação cúbica que se quer resolver, nos mostra quantas elas são, e permite que se obtenha um intervalo que as contém. É importante salientar, entretanto, que, com esse método, não podemos obter as soluções da equação de terceiro grau inicial, já que estamos trabalhando com um método geométrico, e esse tipo de método nos dá apenas aproximações para as raízes. Limitações, como a explicitada acima, fizeram com que métodos geométricos, pouco a pouco, dessem lugar a métodos algébricos de resolução de equações, pois eles resolvem totalmente o problema.
Do ponto de vista didático, os métodos geométricos são muito úteis para introduzir o estudo de resolução de equações de terceiro grau, e ampliar as possibilidades que o aluno tem de resolver uma equação cúbica. Os métodos geométricos são válidos na medida em que mostram, ao aluno, um raciocínio diferente, que pode ser usado na resolução de problemas. No nosso caso, o método de Omar Khayyam traz um fator que pode motivar o aluno: a possibilidade de visualização das raízes da equação, esboçando os gráficos de uma parábola e uma hipérbole em um mesmo plano.
As atividades acima podem ser estudadas com Cabri-géometre, com exceção da atividade "Cardano". Os gráficos podem ser construídos, transformados em objetos Cabri com o uso da ferramenta "cônicas" e coordenadas dos pontos de intersecção entre a parábola e a hipérbole encontradas com a ferramenta "equações e coordenadas". O uso de Cabri-géometre foi fundamental para este estudo, na medida em que agiliza a construção dos gráficos, permite o dinamismo em geometria e a visualização de gráficos de funções de terceiro grau.

Atividade Encontro

Sejam f: e g: duas funções de valores reais definidas por

e

Existe algum valor de x para o qual as duas funções têm a mesma imagem? Se existir, dê estes valores e justifique sua resposta; se não, explique porquê.

Atividade Duplicação do Cubo

No século V a.C., a Grécia foi tomada por uma peste terrível que assombrou e dizimou grande parte da população. Uma delegação foi enviada ao oráculo de Apolo em Delos para rezar e pedir àquele deus que dissesse o que o povo precisava fazer para que a peste desaparecesse. Conta a lenda que o oráculo determinou que se duplicasse o altar de Apolo, cuja forma era a de um cubo. Os atenienses, obedientemente, duplicaram as dimensões do altar, pensando terem atendido ao pedido divino. A peste, contudo, continuava a se espalhar pelo país pois, quando duplicam-se as medidas de seus lados, o volume do altar é multiplicado por oito e não por dois.
Platão, ao ser consultado a respeito do problema, respondeu que o intuito dos deuses não era tê-lo resolvido, mas que os Gregos desistissem de guerras e maldades e cultivassem as Musas, para que suas paixões fossem supridas pela Filosofia e pela Matemática, vivendo uma relação de ajuda uns com os outros.

1. Apesar da indagação de Platão, a peste precisava ser detida. Tendo os lados do altar medida 1 unidade de medida, calcule seu volume. Encontre uma expressão algébrica para o lado do cubo cujo volume é igual ao dobro do volume do altar.
   Observação: O volume de um prisma é igual ao produto de sua altura pela área da base.
2. Utilizando os conhecimentos de cônicas e intersecção de gráficos adquiridos nas atividades precedentes, encontre um valor (mesmo que aproximado) para o lado do cubo procurado.

Atividade Método de Omar Khayyam

Seja a equação . É possível transformar esta equação numa igualdade entre duas curvas da mesma família (a família das cônicas), como na atividade I? Justifique. Encontre as raízes desta equação.

Atividade Cardano

O volume do bloco ao lado é igual a n unidades de volume. Os lados da base têm medidas: e Sua altura tem medida Encontre uma expressão algébrica para este volume.

 

1. Compare a expressão que você encontrou acima com o desenvolvimento de e escreva m e n em função de a e b.
2. Sendo e raízes de uma equação de segundo grau, escreva os valores destas raízes em função de m e n.
3. Dada a equação , encontre utilizando os exercícios precedentes.

Atividade Comparação

1. Use o método de Cardano para resolver as equações a) e b) .
2. Use o método de Omar Khayyam para resolver estas equações. Compare os resultados obtidos com as raízes encontradas acima. O que você pode concluir?

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