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Comunicações Científicas
GEOMETRIA
MÉTRICA: Autor
: Afonso Henriques
O presente estudo visa pesquisar como a Geometria pode ser ensinada/aprendida com auxílio das novas tecnologias, enfatizando especialmente o ambiente computacional Cabri-Géomètre II. Nesse contexto, buscam-se as possíveis contribuições ou mudanças que essa tecnologia pode trazer quando usada no processo de ensino e aprendizagem da Geometria, tendo em vista as inúmeras dificuldades ou obstáculos colocados para se ministrar tal disciplina nos níveis de ensino fundamental e médio. Por meio de metodologia inspirada na Engenharia Didática e com a preocupação centrada no aluno (futuro professor de Matemática), foi proposta uma seqüência didática que utiliza o software Cabri-Géomètre II como editor provedor de objetos geométricos e suas relações, salientando seus aspectos didático-pedagógicos e sua fundamentação teórica. Os participantes da pesquisa foram os alunos do primeiro ano do curso de Matemática ingressos em 1998 na Universidade Estadual Paulista – Unesp/Campus de Rio Claro, Estado de São Paulo/Brasil. Inicialmente foram avaliados com relação aos conteúdos de Geometria correspondentes às séries anteriores cursadas, ou seja, as do ensino fundamental e do ensino médio. Paralelamente foram entrevistados alguns professores do Departamento de Matemática, ao qual pertence esse curso, a fim de levantar questões relativas ao ensino e aprendizagem de Geometria. Os sujeitos envolvidos na situação experimental puderam vivenciar os princípios básicos do Cabri-Géomètre II, principalmente em situações propostas no sentido de solucionar problemas, segundo os níveis de intervenção do Cabri-Géomètre II: construção, experimentação, formulação de conjecturas, criação de estratégias de investigação, validação e demonstração. Nessa linha, procurou-se explorar a estreita vinculação existente entre a Geometria e a Álgebra de acordo com a noção de jogo de quadros. Os resultados obtidos permitiram concluir que o enfoque computacional via Cabri-Géomètre II é, didática e/ou pedagogicamente, uma alternativa para a realização do ensino da Geometria, em particular a métrica, pois facilita com vantagens a aprendizagem dessa disciplina. E mais, o envolvimento dos futuros professores na pesquisa, utilizando esse software, permitiu modificar suas concepções em relação à aquisição de conhecimentos, sobretudo os conceitos básicos de geometria e de seus fundamentos, relevantes não apenas para o curso de Matemática que freqüentam atualmente, mas principalmente para a carreira profissional de cada um.
The present study seeks to research as the geometry can be taught/lerned helped by technologies, especially emphasizing the computacional focus through Cabri-Géomètre II. In this context, we look for possible contributions or changes that this technology can bring when used in the Geometry teaching and learning process, aiming the countless difficulties or obstacles placed in order to teach such course in teaching the fundamental and medium levels. Through the methodology inspired by the Didactic Engineering and with the concern centered in the student (future Mathematics teacher), it was proposed a didactic sequence that uses the software Cabri-Géomètre II as a geometrics objects supplier editor and its relationships, pointing out its didactic-pedagogic aspects and its theoretical fundamentation. The participants of the research were the first year students of the Mathematics course ingressed in 1998 at the Paulista State University-UNESP, in the city of Rio Claro, State of São Paulo/Brazil. Initially they were evalueted in relationship to the contents of Geometry corresponding to the series studied previous, that is to say, the ones of fundamental and medium teaching. Parallelly some teachers from the Mathematics Department to which this course belongs were interviewed, in order to lift relative subjects to the Geometry teaching and learning. The subjects involved in the experimental situation could experience fully the Cabri-Géomètre II basic axioms, mainly in proposal situation in the sense of solving problems, according to the levels of intervention of Cabri-Géomètre II: construction, experimentation, formulation of conjectures, creation of investigation strategies, validation and demonstration. In this line, it was tried to explore the narrow link existent between the Geometry and the Algebra according to pictures game notion. The results obtained allowed the conclusion that the computer-based focus through Cabri-Géomètre II is, didactic and/or pedagogically, an alternative for the accomplishment of the Geometry teaching, in particular the metric, because it facilitates with advantages the learning of this course. And more, the future teachers' involvement in the research, using this software, it allowed to modify their conceptions in relation to the acquisition of knowledge, above all the basic concepts of geometry and of its foundations, important not just for the Mathematics course that they frequent now, but mainly for the professional career of each one.
Um dos principais objetivos da Informática na Educação é o de permitir especificar metodologia para o ensino e a aprendizagem da Matemática em ambientes computacionais. Nesse âmbito, buscou-se no presente trabalho enfatizar o ensino e aprendizagem da Geometria - especificamente a Métrica no seu aspecto uni e bidimensional - utilizando-se o software Cabri-Géomètre II como editor provedor de objetos geométricos, no contexto da Engenharia Didática como metodologia de pesquisa, além do que, usa a Teoria de Situações Didáticas de Guy Brousseau (1986) e Noções de registro e jogo de quadros, de Regine Douady (1986), como suportes teóricos. A Engenharia Didática vista como metodologia de pesquisa caracteriza-se, segundo Artigue (1988), por um esquema experimental baseado em realizações didáticas em sala de aula, isto é, na concepção, na realização, na observação e na análise seqüencial de atividades de ensino. Nesse contexto, a teoria de situações didáticas tal como desenvolvida por Brousseau (1986) é de indiscutível importância. Ao enfatizar o processo da aprendizagem sob forma de situações didáticas, propõe a classificação desse processo em três tipos de interação do aluno com o saber em jogo: ação; formulação e validação. Nesse envolvimento pode surgir a idéia de analisar a situação sob outro ponto de vista, o que vem de acordo com a noção de jogo de quadros. Ao introduzir a noção de jogo de quadros em situações de aprendizagem, Douady (1986) enfatiza que uma das características importantes da Matemática é possibilitar a mudança de ponto de vista, isto é, traduzir um problema de um quadro para outro com a finalidade específica de acessar ferramentas de resolução diferentes das inicialmente previstas. Um quadro é constituído, segundo Douady, de ferramentas de uma parte da Matemática e de relações entre objetos matemáticos. Especialmente para o ensino da Geometria esse processo pode revelar características importantes, na medida em que se procura resgatar a estreita vinculação existente entre a Geometria e a Álgebra.
O PROBLEMA
A partir de uma análise da literatura pertinente à Geometria em questão bem como da análise da geometria do Cabri-Géomètre II, e ainda preocupado com a postura do aluno (futuro professor de Matemática) diante de situações geométricas, delineiam-se as seguintes questões diretrizes para esta pesquisa:
Essas perguntas ajudaram a esclarecer as possíveis contribuições ou mudanças que as novas tecnologias podem trazer quando usadas no processo ensino/aprendizagem.
O interesse pelo ensino e aprendizagem da Geometria surgiu durante a graduação em função do envolvimento que tivemos com essa área em pesquisas, utilizando a informática em projetos de iniciação científica com apoio do CNPq. Foram desenvolvidos dois projetos sobre o assunto. No desenvolvimento do segundo, contou-se com recursos do Software Cabri-Géomètre I, e nessa linha foram publicados dois artigos. Por outro lado, pesquisas que utilizam o software Cabri-Géomètre como variável de transposição didática no processo de ensino/aprendizagem, são desenvolvidas por estudiosos preocupados e fascinados com o ensino da Geometria, em âmbito nacional e internacional. Preferimos a segunda versão, Cabri II, por trazer mais recursos numa interface agradável. É notável, contemporaneamente, que além dos recursos materiais presentes na natureza ou dos construídos em conjunto com os alunos, está o computador cada vez mais presente nas escolas. E, segundo Barbosa & Lourenço (1998), o Cabri-Géomètre é um dos melhores softwares educacionais para a descoberta (redescoberta) de conceitos e propriedades (teoremas) relativos à Geometria Euclidiana Plana. Vários argumentos justificam essa assertiva; talvez o mais interessante para a educação matemática seja aquele de permitir criar e deformar figuras geométricas em segundos, utilizando o modo "agarrar-arrastar", mas conservando relações. O mérito dessa inovação consiste principalmente na abertura de uma nova grande gama de aplicações e investigações educacionais em Geometria nos ensinos fundamental, médio e superior.
A Engenharia Didática, tal como vista por Artigue (1988) e Douady (1993), foi utilizada como metodologia desta pesquisa. Em função dos objetivos do presente estudo, destacam-se: as concepções dos alunos e de professores; a realização e análise seqüencial das atividades de ensino; a observação das estratégias dos alunos durante a fase experimental da seqüência didática. Inicialmente foi feito um levantamento e estudo bibliográfico sobre o assunto da pesquisa em paralelo com as disciplinas oferecidas pelo curso de pós-graduação em Educação Matemática – Unesp – Campus de Rio Claro-SP-Brasil. Após um estudo histórico e análise de alguns livros didáticos inerentes à Geometria, elaborou-se um piloto (20 semestre 1997), contendo 8 questões de Geometria do ensino médio e aplicadas a quatro alunos, dois do 1o ano do curso de matemática e duas no 3o. Como era de se esperar, as alunas do 3o ano mostraram mais maturidade na resolução dos problemas propostos (salvo pequenas falhas) do que os alunos do 1o ano, que somente ratificaram suas idéias sobre os três primeiros problemas, pois estavam enquadrados na parte da Geometria que estavam estudando naquele período. A análise preliminar indicou que os alunos que entram na Universidade Estadual Paulista-Unesp-Rio Claro/São Paulo/Brasil para cursar Matemática aprendem, aí, a Geometria que deveriam ter aprendido nas séries anteriores. Na primeira semana do ano letivo de 1998, foi previamente solicitado para a professora e à coordenadora da disciplina Geometria Elementar, um tempo de duas horas no horário dessa disciplina para aplicação do referido piloto (com algumas modificações) como pré-teste da pesquisa, acompanhado de um questionário (entrevista escrita) aos 40 alunos ingressos no curso de Matemática da Unesp/Rio Claro naquele ano. Essa fase permitiu uma avaliação dos conhecimentos geométricos adquiridos pelos alunos nas séries anteriores (do ensino fundamental e médio). Na ocasião, 25 alunos responderam o questionário. Uma semana após a aplicação do pré-teste, foi apresentado aos 25 alunos o ambiente computacional Cabri-Géomètre II, pois nenhum deles o conhecia. Em seguida, foram solicitados os alunos interessados em participar do processo experimental da pesquisa que teria duração de quatro sessões de duas horas semanais cada. Todos mostraram-se interessados. Por motivo de controle, durante a fase experimental, trabalhou-se com 10 (dez) alunos definidos através de sorteio, que contou com a colaboração da professora desses alunos (da disciplina Geometria elementar).
Dado o interesse em verificar a "bagagem" de conceitos básicos em Geometria com que a nova geração está chegando à Universidade, bem como oferecer alguma contribuição para sua formação, além do contato com pesquisas em Educação Matemática que discutem o ensino da Matemática nos ensinos fundamental e médio, onde a maioria deles vai lecionar, propôs-se avaliar os conhecimentos geométricos dos alunos, através da aplicação do pré-teste. O teste certificou como caso particular a análise feita durante o piloto. Perante a auto-avaliação (Henriques 1999, item 4, anexo I) sobre conhecimentos geométricos, onde estabelecíamos três níveis ([ ]baixo, [ ]médio e [ ]alto), a maioria dos alunos se atribuiu o nível baixo, com as seguintes justificativas assim resumidas:
Os argumentos dos alunos nos revelam que, além dos problemas enfrentados por eles nas séries anteriores com relação à Matemática, há sempre quem se interessa em profissionalizar-se nessa área. Assim, os cursos de formação de professores de Matemática devem reconhecer tal fato e lançar para o mercado correspondente indivíduos completamente preparados com intuito de suprir os problemas vividos pelos alunos bem como pelos professores nos níveis fundamental e médio que, muitas vezes, se justificam de não terem dado este e/ou aquele assunto por não possuírem formação adequada ou não terem visto o tema enquanto alunos da graduação. Nesse entendimento, as novas tecnologias, em particular o software Cabri- II, quando convenientemente utilizado, pode contribuir para a formação de professores, proporcionando-lhes recursos ou métodos para o ensino eficiente de Geometria nos ensinos fundamental, médio e superior.
O esquema experimental da pesquisa consiste numa seqüência didática que tem por finalidade recontextualizar o saber matemático em estudo, tornando possível acompanhar minuciosamente a evolução dos alunos em termos dos efeitos da transposição informática. Isso é feito através de situações didáticas, propondo ou não aos alunos algoritmos que os auxiliam na construção de situações geométricas utilizando o Cabri-Géomètre II. As referidas situações geométricas são fundamentadas em Geometria Métrica no seu aspecto uni e bidimensional, isto é, Medidas de Comprimentos e de Superfícies Planas (área). Envolvem também semelhanças de triângulos e relações métricas aplicadas aos estudos de figuras planas. A seqüência, por sua vez, consiste num estudo preliminar que visa caracterizar os objetivos específicos de cada atividade, a análise matemática e a análise didática relativas às atividades propostas. A análise matemática destaca as resoluções possíveis, a forma de controle e os resultados esperados, enquanto a análise didática se preocupa com as variáveis didáticas de situações, os pré-requisitos e a competência. Variáveis didáticas são aquelas que estão à disposição do professor para analisar situações didáticas durante uma investigação (Almouloud, 1997). A seqüência foi dividida em quatro sessões de duas horas semanais cada. Durante a aplicação da seqüência, o papel do professor-pesquisador foi o de institucionalização de acordo com Brousseau (1986) no estudo de sua teoria de situações didáticas. A situação geométrica a seguir é um dos estudos propostos numas das sessões da seqüência.
Análise preliminar: As propriedades inerentes a uma situação geométrica em estudo se tornam significativas para o aluno na medida em que ele se envolve nessa situação em função do meio. O Cabri-Géomètre II, sendo recurso tecnológico para o ensino, facilita tal processo, podendo-se enfatizar a manipulação direta (Bellemain, 1992).
Em termos de ensino, especialmente no início do curso universitário, os alunos abordam a Matemática a partir de um raciocínio preponderantemente intuitivo. A atividade descrita aqui convida o aluno às descobertas e demonstrações, baseando-se em leis universalmente lógicas. Assim, foi proposto (Henriques 1999, anexo III) que o aluno construísse uma figura como a mostrada no quadro ao lado. Os valores introduzidos na tabela de forma sucessiva, ao movimentarmos a figura são dados que evidenciam a situação. O estudo ocorreu em três fases: a primeira correspondeu à modelação do problema através de construções elementares; a segunda resultou no registro e exploração da figura e, a terceira fase, investiu na mudança de quadro (do computador para o papel) a fim de permitir a demonstração algébrica. A maioria conseguiu construir corretamente o triângulo retângulo solicitado, usando Cabri II; outros construíram o triângulo que aparentemente era retângulo, no entanto, perdia suas propriedades iniciais ao ser movido. Quase todos os alunos tiveram dificuldade para inscrever a circunferência no triângulo como solicitado. Alguns conseguiram encontrar o centro (incentro – interseção de bissetrizes), mas a circunferência com esse centro, que para eles aparecia inscrita, perdia tal propriedade quando se movia a figura. Isso mostrava que faltava algo para que o problema fosse efetivamente modelado. Discutiam entre si trocando idéias e, quando não chegavam a um consenso, perguntavam ao professor-pesquisador (como fazer isso ou aquilo? como fazer para que a circunferência permaneça em contato com os lados do triângulo ao mover a figura?). Outros nem tinham idéia de que o centro da circunferência inscrita num triângulo qualquer é a interseção das bissetrizes do triângulo considerado. Sugeria-se, então, que construíssem bissetrizes para encontrarem o incentro e a menor distância entre o incentro e um dos lados do triângulo, caracterizando o raio. Assim procederam, inscrevendo, portanto, a circunferência no triângulo. Efetuando os registros e as possíveis medidas, sugeria-se que construíssem uma tabela para inserir nela os valores correspondentes a cada configuração da figura durante a manipulação direta. Ao se envolverem com o problema ao longo do episódio, que, segundo eles, era divertido, passaram a surgir naturalmente discussões e idéias plausíveis, como:
Esses argumentos ou conjecturas dos alunos para nós foram significativos, na medida em que refletem o interesse e a motivação deles, ao se envolverem com o problema em estudo, onde o Cabri II teve um papel importante. A terceira e última fase dessa atividade mostrou-se a mais difícil na opinião dos alunos, já que se tratava de demonstração formal. A regularidade do resultado da propriedade por eles descoberta com auxílio do Cabri II era considerada suficiente, pois para eles a situação estava mais do que esclarecida, não precisando de demonstração algébrica. Mas, como a intenção do estudo era justamente provocar uma mudança de quadro, relacionando a regularidade de resultados visualizados na tela do computador com as exigências da cultura matemática, conduziu-se os alunos à demonstração algébrica, tal como descrito no estudo preliminar (Henriques, 1999).
Dentro do domínio da pesquisa em Ensino Interativo Auxiliado por Computador - EIAC, a Geometria elementar é considerada como espaço adequado para experiências didáticas, sobretudo por sua importância no processo de aquisição de conhecimentos (Ferneda, 1993). Contudo, verifica-se que esse espaço é pouco explorado nos ensinos fundamental e médio, alicerces do percurso acadêmico de todo estudante, como se pôde constatar na entrevista/pré-teste com os alunos (participantes) desta pesquisa, bem como nas colocações dos professores entrevistados (Henriques, 1999). Em geral, a pouca atenção dispensada à geometria elementar pode ser vista como conseqüência da má formação da maioria dos professores que leciona nesses níveis; a frase: "...fui formado assim" é predominante na fala da maioria deles com relação ao ensino/aprendizagem da Geometria. Por outro lado, é notável que a utilização de recursos tecnológicos no ensino pode influenciar na formação de professores. Pois, uma das observações importantes relativas às estratégias utilizadas pelos sujeitos deste estudo sugere que o Cabri-Géomètre II influencia fortemente no relacionamento professor/aluno e principalmente na aprendizagem dos conceitos geométricos propostos pelo professor, haja vista que este é um elemento facilitador na aquisição de conhecimentos em meios informatizados. Em Educação Matemática tem sido uma tradição nos modelos de ensino e de aprendizagem enfatizar o conhecer de um dado fenômeno primordialmente através da álgebra (Borba, 1995). Nesse sentido, a noção de jogo de quadros (R. Douady, 1986) se mostrou favorável na aprendizagem dos conceitos tratados, ao permitir resgatar a estreita vinculação existente entre a geometria e a álgebra: a maioria dos alunos conseguia chegar à mesma conclusão com a influência do Cabri II. Nesse âmbito, como colocam Barbosa & Lourenço (1998), o Cabri-Géomètre se constitui em um dos melhores softwares educacionais para o ensino e a aprendizagem da Geometria Euclidiana Plana. Ou seja, o enfoque computacional via Cabri-Géomètre II é, didática e/ou pedagogicamente, uma alternativa para a realização do ensino da Geometria, em particular a métrica, pois facilita com vantagens a aprendizagem dessa disciplina. E mais, o envolvimento dos futuros professores na pesquisa, utilizando esse software, permite modificar posturas e suas concepções em relação à aquisição de conhecimentos, sobretudo os conceitos básicos de geometria e de seus fundamentos, relevantes não apenas para o curso de Matemática que freqüentam atualmente, mas principalmente para a carreira profissional de cada um.
HENRIQUES A. Ensino e Aprendizagem da Geometria Métrica: uma seqüência didática com auxílio do software Cabri-Géomètre II: Dissertação de Mestrado – Unesp/Rio Claro, Brasil 1999.
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