Comunicações Científicas

 

Geometria Dinâmica e Demonstrações na Formação Continuada de Professores
Elizabeth Belfort, Luiz Carlos Guimarães e Rafael Barbastefano1

 

Abstract

The research described in this article is based on experiments aiming at the development and evaluation of activities, using dynamic geometry softwares as tools to encourage secondary teachers to prove theorems in geometry. The sample of subjects comes from in service courses promoted by the Institute of Mathematics - U.F.R.J, in Rio de Janeiro, with financial support from CAPES and FAPERJ. This article focus the choice of subjects for each sketch planned to play an important role in promoting deductive reasoning. The sketches presented here are based on works of Euclid and Legendre.

We argue that the experimental environment allowed by the dynamic properties of the softwares can be used to investigate the main arguments used in the process of proving a theorem. We also discuss the importance of complementary texts and deductive work as integrated activities with those developed using the sketches. To conclude, we report some of the findings of the initial analysis of the field research developed with the sample of secondary mathematics teachers.

 

Resumo

A pesquisa aqui relatada descreve atividades em geometria dinâmica planejadas com o objetivo de incentivar o professor de matemática do ensino médio a demonstrar resultados geométricos. A pesquisa de campo vem sendo realizada com grupos de professores que participam de cursos de atualização oferecidos pelo Instituto de Matemática da U.F.R.J., com financiamento da CAPES e da FAPERJ. A escolha dos temas das telas computacionais é o foco do artigo, pois são os problemas propostos que podem proporcionar um ambiente que incentive o raciocínio dedutivo e a demonstração. Esta escolha foi fruto de uma pesquisa histórico-matemática, e apresentamos aqui algumas telas inspiradas em textos de Euclides e Legendre.

Neste trabalho discutimos que a experimentação permitida pelas características dinâmicas dos softwares pode ser explorada no sentido de encaminhar o raciocínio para os principais argumentos usados em uma demonstração em geometria. Também é discutida a importância dos roteiros exploratórios e textos complementares que acompanham o material computacional. Finalmente, apresentamos algumas das conclusões preliminares da análise da pesquisa de campo realizada durante os cursos para professores.

 

Introdução

O Instituto de Matemática da Universidade Federal do Rio de Janeiro vêm desenvolvendo um trabalho expressivo em formação continuada de professores de matemática em vários níveis. Diversos artigos têm sido publicados pelos docentes do Instituto envolvidos no processo, como conseqüência natural dos processos de reflexão e pesquisa relacionados a este trabalho (para exemplos recentes envolvendo geometria dinâmica, ver Guimarães et al. 1999 a e b; Belfort e Guimarães, 1999, 1998 a e b; Gani e Belfort, 1999).

Nos últimos dois anos, os autores deste artigo vêm sendo responsáveis pelos cursos em laboratório de Geometria, parte integrante do curso de atualização oferecido pelo I.M. como parte do projeto PRO-CIÊNCIAS. Este curso é destinado a professores de matemática atuando no ensino médio no Estado do Rio de Janeiro. Softwares de Geometria Dinâmica têm sido nossa ferramenta de escolha, e a resposta dos professores ao processo tem sido bastante positiva. Colocados em uma situação onde não se sentem testados em seus conhecimentos, já que estão sendo apresentados a uma nova ferramenta, os professores do ensino médio têm a oportunidade de repensar e questionar seus conhecimentos matemáticos (Belfort e Guimarães, 1998 a)

A pesquisa de atitudes dos professores que vimos desenvolvendo durante estes cursos aponta para uma dificuldade em provar resultados matemáticos. Mesmo aqueles professores que demonstram um bom conhecimento dos conteúdos ligados à sua prática de sala de aula, em geral não conseguem apresentar justificativas matemáticas para os 'fatos' que utilizam. Na nossa experiência nos cursos de formação permanente ficou claro que, ao discutir com eles tópicos de matemática ligados à sua prática, sob um enfoque diferente do que eles estão acostumados a utilizar, apresentávamos uma oportunidade para reintroduzir a necessidade de provas e justificativas em matemática.

Nossa experiência tem sido particularmente rica sob o ponto de vista do uso de softwares de Geometria Dinâmica. Ficou constatado desde o início que muitos professores tendiam a acreditar sem questionamento nos resultados visualizados na tela, e nessa atitude estava incluída até mesmo uma crença de que as medidas realizadas pelos softwares não estavam sujeitas a erros e aproximações.

Pela própria concepção desses softwares, a tentação de utilizar Geometria Dinâmica apenas para o desenvolvimento de conjecturas por raciocínio indutivo, esquecendo a importância do raciocínio dedutivo em matemática, é bastante grande. Existe sempre o risco de levar o professor a generalizar um resultado a partir de um número finito de casos, e de considerar como demonstrados resultados que foram apenas visualizados através do software. Nosso desafio então foi desenvolver atividades em geometria dinâmica que incentivassem os professores a demonstrar os "fatos" explorados no computador.

Apresentamos aqui um relato da fase inicial da pesquisa, que visou a associação dos experimentos indutivos com os métodos dedutivos através do trabalho em telas especialmente preparadas, de discussões com todo o grupo após esta exploração inicial, e do trabalho com textos escritos especialmente para este curso pelos autores deste artigo. Exemplificamos a escolha que fizemos de temas das telas computacionais, com o objetivo de levar o professor à argumentação e ao questionamento de resultados visualizados no computador. Para tal, contamos com as sugestões de "consultores" reconhecidamente competentes: Euclides e Legendre. Mais que seus resultados, é a beleza dos métodos dedutivos desenvolvidos por estes autores que favorece o ambiente de discussão e aprendizado, como detalhado no embasamento teórico-matemático descrito a seguir.

Embasamento Teórico - Matemático

A postura educacional fundamental adotada por nós nos cursos de formação continuada de professores tem sido a da diversidade de experiências e de metodologias de ensino, defendida por Ausubel (1968). Para uma descrição mais detalhada desta postura, e suas ligações com teorias epistemológicas, ver Gani e Belfort (1999).

Podemos dividir nosso problema em duas partes: a primeira seria convencer o professor que não há como se assegurar de um resultado a partir da observação da tela do computador, e a segunda parte seria desenvolver atividades em geometria dinâmica que aproximassem o professor dos argumentos básicos utilizados nas demonstrações dos resultados envolvidos.

A exploração dos limites do software foi a forma natural de resolver a primeira parte do problema. Numa tela com número finito de 'pixels', as limitações dos programas são facilmente encontráveis. No entanto, foi na pesquisa histórico-matemática que encontramos fontes de soluções para o problema de levar o professor à consciência da necessidade de demonstrar, mesmo quando trabalhando com geometria dinâmica.

Os grandes autores da história da geometria apresentam seqüências de resultados em seus livros nas quais os métodos utilizados para as demonstrações se destacam por sua clareza e compacidade. Neste artigo vamos nos fixar nos textos de Euclides e Legendre pois, sem sombra de dúvida, os livros de geometria elementar que escreveram foram as maiores influências sobre os livros-texto escritos sobre o assunto ao longo da história.

N'Os Elementos, Euclides organiza de forma axiomática-dedutiva o conhecimento matemático elementar do seu tempo ( ~ 300 A.C.). Quem já tentou sua leitura, sabe perfeitamente que o termo 'elementar' não deve ser compreendido como 'simples' ou 'fácil', mas sim como 'básico', pois estão descritos ali os alicerces de todo o conhecimento matemático da época.

Damos destaque aqui à sequência de resultados sobre áreas planas que conclui o livro I (e que se inicia no teorema 35), pois esta é surpreendente sob diversos aspectos, quando comparada com o tratamento dado ao tema nos livros didáticos modernos. Nesta sequência, Euclides compara áreas de paralelogramos e triângulos sem medi-las, ou seja, nenhuma unidade de medida é introduzida, e não há fórmulas ou valores numéricos associados aos seus resultados. Também faz parte desta sequência uma demonstração do Teorema de Pitágoras que não utiliza semelhança de triângulos, mas se apoia na comparação das áreas dos quadrados construídos sobre os lados. Os argumentos de demonstração utilizados por Euclides estão baseados no conceito primitivo de área (postulados). A congruência de triângulos é a ferramenta principal, e cada resultado é obtido dos anteriores em um sequenciamento extremamente didático.

Adrien Marie Legendre (1752-1833), matemático de destaque em seu tempo, escreveu a primeira edição de Éléments de Géométrie em 1794. O livro foi um sucesso, e adotado como livro texto por gerações em diversos países. Sua tradução para o português foi o primeiro livro editado no Brasil, em 1809, logo após a criação por D. João VI da Imprensa Nacional (Azevedo, 1994). Como bem observa Heath (1956), Legendre liga seu nome à geometria de forma definitiva nestes livros. Um dado que vale a pena observar é que em cada uma das doze edições lançadas durante sua vida (a última delas data de 1833) há uma tentativa de provar o quinto postulado de Euclides: o famoso 'axioma das paralelas'. Embora frustadas, estas tentativas não foram improdutivas: por exemplo, é de Legendre a demonstração, sem recurso ao quinto postulado, de que a soma dos ângulos de um triângulo não pode ser maior que 2 retos. Influenciados por seu trabalho, matemáticos de gerações vindouras finalmente desenvolveram o conceito de geometrias não euclidianas (Boyer, 1996).

Pesquisamos diversas edições deste livro, mas aqui nos baseamos na décima quinta edição (Legendre, 1852). Destacamos três resultados que integram o apêndice do livro IV, onde Legendre ataca o difícil problema de maximizar áreas, usando métodos de geometria sintética. O primeiro teorema afirma que entre triângulos com um mesmo lado (AB) e o mesmo perímetro o de maior área é o triângulo isósceles com esta mesma base (AB). Como é de se esperar, esta não é uma demonstração simples por argumentos de geometria plana, e a apresentada por Legendre é memorável. A partir deste esforço inicial, uma sequência de resultados é trabalhada, culminando com a demonstração de que a área do círculo é maior que a área de qualquer polígono que tenha o mesmo perímetro que ele. Nesta sequência também encontramos argumentação matemática que sempre sensibiliza os professores em nossos cursos.

 

Descrição da Metodologia

Buscamos temas relacionados com a prática dos professores em suas salas de aula, abordados sob pontos de vista diferentes daqueles usuais. Nos roteiros exploratórios que acompanham o material de laboratório, perguntas do tipo 'por que?' ou 'será que o resultado obtido é sempre verdadeiro?' incentivam os professores a justificar suas conclusões.

É importante destacar mais uma vez que a metodologia de trabalho adotada quando da utilização destas telas inclui uma discussão dos professores ministrantes do curso com todo o grupo, posterior à exploração no ambiente computacional. As demonstrações são discutidas em sala, a partir das sugestões apresentadas pelos próprios professores-cursistas, permitindo a socialização dos resultados obtidos pelos diversos grupos.

A amostra de professores é, por força da definição do próprio programa de capacitação, bastante diversificada. No entanto, em todas as amostras (97, 98 e 99), pelo menos 40% dos professores atuam no interior do estado, fora do Grande Rio. A quase totalidade destes professores obteve seu grau de licenciado na própria região onde atua, e são poucos os que mostram segurança nos conteúdos de ensino médio. Isso não significa, de forma alguma, que os professores atuando no Grande Rio demonstrem tal segurança: também neste grupo a norma é encontrarmos professores tendo que lidar com as conseqüências de uma formação básica deficiente.

Para dar uma idéia mais clara da metodologia utilizada, apresentamos a seguir algumas das telas que levaram os professores à dedução dos resultados. As telas iniciais se destinam apenas a explorar possíveis limites no uso do software. Muitas vezes usamos limitações deliberadamente implantadas, tais como uma diminuição na precisão de medidas. As demais telas estão baseadas em resultados apresentados por Euclides e Legendre. O método usado para tratar estes resultados é aquele usado originalmente por esses autores.

Telas Explorando os Limites do Software

Nestas telas, o problema da precisão é discutido, tanto do ponto de vista do número finito de pontos na tela, quanto do limite de programação e precisão e, finalmente, do ponto de vista da capacidade visual de distinguir diferenças.

 

Na tela ao lado, pede-se que se ache experimentalmente o valor do lado AB de um retângulo para que este tenha área máxima. Deliberadamente exploramos o fato de que a medida do lado AB encontrado por diferentes experimentadores pode não coincidir.

Na verdade, o problema acima foi um dos que primeiro nos chamou atenção para o fato de que muitos professores aceitavam a resposta dada pelo software como conclusiva. Em um dos experimentos, fomos chamados por três duplas de professores que, sentados próximos, haviam comparados suas respostas. Todos tinham obtido uma área máxima de 100 m², mas os valores do lado AB diferiam. Esses professores ficaram em um impasse, e não conseguiram decidir qual dos três valores encontrados seria o correto. A exploração do 'erro' do software levou à necessidade de encontrar uma solução teórica para o problema, onde o papel do raciocínio dedutivo era preponderante.

 

Já na tela ao lado discutimos o fato de que muitas vezes nosso olho não acompanha a precisão do software. Somos informados pelo software de que os pontos não são colineares, mas não é possível distinguir visualmente o desalinhamento dos pontos. Assim, não podemos nos basear nestas informações para nos certificar de um resultado.

 

Esperamos ter deixado claro que estas limitações, que a princípio poderiam ser consideradas como desvantagens dos softwares de geometria dinâmica, se mostraram ferramentas extremamente úteis na discussão do que deve ser considerado como um argumento válido em matemática. Como já comentado, em alguns casos usamos deliberadamente uma precisão menor para criar as situações de impasse.

Telas Explorando Argumentos de Demonstração

A tela que apresentamos abaixo corresponde a uma representação dinâmica do teorema 35, livro I de Os Elementos.

 

A demonstração dada por Euclides para este fato está baseada na congruência dos triângulos ADD' e BCC', e nas propriedades de um paralelogramo. São os seguintes os postulados de área necessários: (1) figuras congruentes têm áreas iguais;

(2) se uma região R pode ser decomposta em duas regiões R1 e R2 sem outra superposição que não seja parte da fronteira, então a área de R é a soma das áreas de R1 e R2.

A tela ao lado oferece a oportunidade de discutir os argumentos da prova do teorema 36. Para mostrar que os paralelogramos ABCD e A'B'C'D' têm a mesma área, construímos o paralelogramo ABC'D', e usamos duas vezes o resultado obtido no Teor. 35.

Pela constatação de que a diagonal dos paralelogramos acima os divide em triângulos congruentes, Euclides demonstra com simplicidade resultados similares para triângulos. Ele prova ainda que um paralelogramo e um triângulo de bases congruentes sobre a mesma reta, onde o lado oposto do paralelogramo está na mesma paralela à reta que o vértice oposto do triângulo são tais que área paralelogramo = 2 x área do triângulo. Repare que nenhuma medida de área foi realizada em toda a sequência de resultados. Os resultados acima são ainda usados para uma demonstração do Teorema de Pitágoras.

 

A próxima tela que oferecemos como exemplo inicia uma nova sequência de resultados, desta vez baseada em Legendre (1852). O resultado que esta tela discute pode ser demonstrado tanto por argumentos de geometria sintética (Legendre) quanto por argumentos de geometria analítica (este é um exemplo onde o uso de equações facilita bastante a obtenção do resultado, sem que esbarremos em dificuldades de contas). Na sala de aula, este resultado é explorado através dos recursos dinâmicos oferecidos pelos softwares, levando aos argumentos para a demonstração analítica do resultado, que é oferecida completa nas notas de aula..

Com o auxílio do comando trace, a exploração do fato de que o vértice variável A se move sobre uma elipse de focos B e C é percebido e discutido pelos professores. A partir daí, é uma conjectura natural o fato de que a altura máxima ocorrerá para o triângulo isósceles.

Repare ainda que os argumentos discutidos acima estão muito próximos daqueles necessários para a prova analítica do resultado, preparando o professor para o estudo complementar que deve ser feito em casa.

Uma vez admitido este resultado, as telas seguintes encaminham a demonstração do seguinte teorema (Legendre): Entre polígonos de mesmo número de lados e mesmo perímetro, aquele de área máxima é equilátero.

Na tela ao lado, exploramos o fato de que, se dois lados consecutivos AB e BC não são congruentes, então é possível aumentar a área do triângulo ABC, preservando o perímetro, transformando esses dois lados em lados congruentes entre si.

 

Síntese de Resultados e Conclusões

Do ponto de vista da pesquisa educacional, o ambiente de laboratório computacional é especialmente propício a pesquisas voltadas para dados qualitativos, pois permite a observação do trabalho enquanto sendo desenvolvido. Os professores são incentivados a trabalhar em duplas, o que permite aos pesquisadores presenciar as discussões de trabalho e registrar os tipos de argumentação e/ou prova apresentadas para os resultados verificados experimentalmente na tela. Nossa pesquisa indica que o professor desavisado tende a acreditar nos resultados oferecidos pelo computador como verdadeiros, e não parece propenso a questioná-los. Por outro lado, a dificuldade de muitos professores em justificar dedutivamente seus resultados durante o trabalho em duplas confirma que a argumentação não faz parte de sua prática de sala de aula.

A análise da pesquisa de campo também indica que, embora poucas duplas de professores houvessem chegado a demonstrações que efetivamente se apoiassem em argumentos sólidos, a grande maioria dos professores foi capaz de participar da discussão realizada com todo o grupo, e de compreender os métodos dedutivos utilizados.

Do ponto de vista da apreciação, o relato dos professores categoriza estas experiências como 'enriquecedoras', embora diversos confirmassem dificuldades em 'fazer a ponte' destas atividades com sua sala de aula. Estes relatos confirmam mais uma vez quão distante a geometria do ensino médio está da geometria dedutiva. Em sua maioria, os professores admitem que a experimentação e a argumentação também têm pouco espaço em sala de aula.

Também foi observado que os professores da amostra questionaram sua convicção anterior de que seria possível 'provar' resultados baseando-se apenas em experimentos na tela do computador. Eles também relatam que, a partir destes experimentos, os termos 'geometria experimental' e 'geometria dedutiva' passaram a ser melhor compreendidos.

Finalmente, do ponto de vista do uso de softwares de geometria dinâmica em formação de professores, estamos convencidos que é possível utilizá-lo não apenas no estágio exploratório do estudo da geometria, mas também como uma ferramenta de apoio para o desenvolvimento da capacidade de justificar resultados e da valorização do raciocínio dedutivo em geometria.

 

Referências

Ausubel, D. (1968) - Educational Psychology: a Cognitive View. Holt, Rinehart & Winston, New York.

Azevedo, F. (org.) (1994) - As Ciências no Brasil. vol 1 e 2, Editora da U.F.R.J, Rio de Janeiro.

Belfort, E. e Guimarães, L.C. (1998 a)- O Papel do Software Educativo na Formação Continuada de Professores de Matemática . Em Anais do VI ENEM - volume 2 - Unisinos, RS.

Belfort, E. e Guimarães, L.C. (1998 b)- Uma Experiência com Software Educativo na Formação Continuada de Professores de Matemática. Em Anais do VI ENEM - volume 2 - Unisinos, RS.

          Boyer, C. B. (1996) - História da Matemática. (2ª edição), Edgard             Blücher Ltda, São Paulo.

 

Gani, D. C. e Belfort, E.(1999) - CABRI e Geometria Descritiva: Integrando Representações- artigo submetido ao CABRI World 99, São Paulo, SP

Guimarães, L. C., Barbastefano, R. e Belfort, E. (1999 a) Java and VRML as tools for teaching Mathematics- A aparecer em Anals of International Conference on Engineering and Computer Education. Rio de Janeiro.

Guimarães, L.C. e Belfort, E (1999 b) - Simetrias e Figuras Planas em Geometria Dinâmica. A aparecer em Anais do II EEMAT - RJ, Macaé.

Heath, T. L. (1956) - Euclid - The Thirteen Books of The Elements. 2ª edição, Dover, New York.

Legendre, A. M. (1852) - Éléments de Géométrie - 15ª edição, Librairie de Firmin Didote Frères, Paris.

1) Elizabeth Belfort - Depto. de Métodos Matemáticos -Instituto de Matemática - U.F.R.J.
Luiz Carlos Guimarães - Depto. de Matemática Aplicada - Instituto de Matemática _ U.F.R.J.
Rafael Barbastefano - COPPE - U.F.R.J.