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Comunicações Científicas Cabri
e a Simulação de Experiências Aleatórias Abstract This research is a part of a doctorate thesis, developed on the theoretical frame of the didactics of mathematics in Grenoble University Joseph Fourier and LEIBNIZ laboratory (EIAH project). This work is a part of a cooperation project CAPES-COFECUB. This paper proposes a first approach with random situations by using a modeling process within the model, that we call pseudo-concrete, of the Bernoulli’s Urn. A computer simulation of this model by the introduction to geometric probabilities allows an experimental approach, which is accessible to teenagers students. This paper presents an example of this kind of simulation by using the software Cabri II: the game of Franc –Carreau, which was proposed by a French mathematician and biologist, Georges-Louis Leclerc, comte de Buffon, in the 18th century. Key words: probability, model of Bernoulli’s Urn, computer simulation, and didactics of mathematics.
Esta pesquisa é parte de uma tese de doutorado que está sendo desenvolvida na área de Didática da Matemática, na Universidade Joseph Fourier de Grenoble, laboratório LEIBNIZ (projeto de EIAH), no quadro do projeto de cooperação CAPES-COFECUB. Este artigo propõe um primeiro contato com situações aleatórias através de um processo de modelagem visando o modelo pseudo-concreto de Urna de Bernoulli. A simulação informática deste modelo é possível quando usamos o quadro teórico da probabilidade geométrica, permitindo assim um enfoque experimental acessível a alunos do ensino fundamental. Neste artigo apresentamos um exemplo deste tipo da simulação usando o software Cabri II: o jogo do Franc - Carreau, proposto por um matemático e naturalista francês, Georges-Louis Leclerc, conde de Buffon, no século XVIII. Palavras-chaves: probabilidade, modelo de Urna de Bernoulli, simulação informática e didática da matemática.
Cabri e a Simulação de Experiências Aleatórias Cileda de Queiroz e Silva Coutinho Introdução Este trabalho apresenta um breve estudo sobre a modelagem de situações ou fenômenos aleatórios. Nosso objetivo principal é de estudar as condições de iniciação aos fenômenos aleatórios para alunos do ensino fundamental. Em particular, procuramos introduzir uma liguagem descritiva destes fenômenos e promover a apropriação de um modelo pseudo-concreto da lei de Bernoulli. Nossa hipótese é de que a aprendizagem do cálculo de probabilidades começa pela distinção entre acaso e contingência: nos interessaremos pelo estudo de fenômenos nos quais podemos identificar um componente de imprevisibilidade (acaso) e para os quais podemos reproduzir as condições de sua observação. Estes fenômenos serão chamados "Situações Aleatórias". O passo seguinte nessa aprendizagem é a compreensão do conceito de "Experiência Aleatória" como uma primeira abstração da situação aleatória que queremos representar. Esta representação é feita a partir dos seguintes elementos:
Particularmente nos interessaremos pela modelagem de experiências aleatórias para as quais os resultados podem ser classificados de forma dicotômica: "sucesso" ou "fracasso". Estas experiências podem ser representadas por uma Urna de Bernoulli, que é o modelo pseudo-concreto da lei de Bernoulli. Nosso trabalho consiste em construir uma seqüência didática que permita ao aluno a aquisição de conhecimentos e competências necessários para que ele se integre num trabalho de modelagem de situações aleatórias buscando representá-las, quando possível, por uma Urna de Bernoulli. Nosso objetivo consiste, então, em dar ao aluno condições para que ele possa reformular uma situação da realidade em termos de um sorteio aleatório, com reposição e com população finita, para o qual existem apenas dois resultados possíveis: sucesso ou fracasso. Um modelo será, assim, uma representação simplificadora de um sistema de objetos e relações que serão conservados a fim de obter uma determinada interpretação da realidade (Chevallard, 1989; Laborde, 1994). E graças a esta forma de interpretação, uma realidade local pode ser reproduzida. Os alunos do ensino fundamental não possuem, ainda, os conhecimentos matemáticos necessários para formalizar o modelo escolhido para representar uma situação aleatória. Nos limitaremos, então, a um trabalho no domínio do pseudo-concreto: No modelo "Urna de Bernoulli" a probabilidade de um evento resultante de uma experiência aleatória é assimilada à proporção de bolas representando esse evento na composição da urna que representa essa experiência. Fazemos a hipótese didática que, antes de iniciar os alunos a um cálculo de probabilidades realizado já dentro de um modelo teórico bem definido, é necessário que os alunos realizem, eles mesmos, um processo de modelagem. O risco da não integração desse processo ao ensino-aprendizagem do cálculo de probabilidades é a dissociação entre algoritmo (o cálculo de uma probabilidade) e modelo, e em conseqüência, a não construção do significado para os resultados obtidos através desse algoritmo. Assim, construímos uma engenharia didática cujo objetivo é favorecer a aprendizagem de um processo de modelagem de situações aleatórias que possam ser representadas pelo modelo pseudo-concreto da Urna de Bernoulli. Dentro desta perspectiva, nos parece importante que os alunos possam, eles mesmos, construir estes modelos e fazê-los funcionar através de simulações. Para isso, é necessário que estas simulações sejam realizadas em um ambiente suficientemente aberto para que o aluno possa decidir por ações e operações fundamentadas pelos conhecimentos que eles já possuem ou em vias de aquisição. O objetivo desta comunicação científica é justamente de apresentar as simulações acessíveis aos alunos através das atividades propostas por nossa engenharia didática, assim como sua função didática. Apresentação do micro-mundo Cabri Para o trabalho no quadro de probabilidade geométrica, escolhemos o software Cabri-Géomètre II como ambiente computacional para resolução de problemas de modelagem de situações aleatórias. Mais particularmente, problemas ligados à simulação informática do modelo de Urna de Bernoulli. Esta escolha se justifica pela possibilidade, oferecida pelo Cabri II, de manipular diretamente os parâmetros desta simulação. O aluno pode, assim, construir ou modificar o dispositivo a ser utilizado para a experimentação. Os dados assim obtidos são armazenados em uma tabela que será, em seguida, transferida para uma planilha eletrônica (no nosso caso, Excel), na qual podem ser feitos os tratamentos estatísticos necessários para a obtenção da porcentagem de sucessos obtidos na experiência de Bernoulli que foi simulada. Nossa hipótese é que a associação entre Cabri II e Excel ajudam a construir um "milieu" adequado e rico para a resolução de problemas de modelagem de uma situação aleatória, geométrica ou não, através de uma mudança de quadros quando necessário. Atribuímos esta riqueza à possibilidade, graças ao Cabri II, de comparar os resultados de um cálculo geométrico realizado "a priori" para obtenção do valor da probabilidade procurada, com o valor estimado dessa mesma probabilidade, obtido pela análise da freqüência relativa de sucessos freqüência esta, obtida experimentalmente. Um pixel ao acaso
Para que possamos realizar várias simulações da experiência aleatória "escolher um pixel ao acaso dentro do retângulo ABCD", utilizaremos um artifício que consiste em inserir um dispositivo de contagem N, gerado pela animação de um número editado na tela pela opção "Edição Numérica" na barra de menus. Este dispositivo de contagem, resultado de uma incrementação do tipo an+1 = an+1, reinicia o cálculo feito pela função "rand" de forma a obter resultados aleatórios e independentes. Para uso didático, assimilamos um pixel à a um quadrado de unidade minimal na tela do computador, que é representado pelo ponto P visível nesta tela. Como conseqüência dessa escolha e do fato que Cabri II tem, como "défaut", 30 pixéis por centímetro, podemos associar a superfície do retângulo e o número de pixeis necessários para lhe preencher completamente. Realizamos, assim, a discretização da superfície plana representada na tela do computador. Considerando então o sistema de eixos ortogonais de origem no vértice A do retângulo ABCD, podemos obter as coordenadas xP e yp de um pixel à , escolhido aleatóriamente dentro de ABCD, através da fórmula abaixo, ativada pela opção "Calculadora" no menu do Cabri II: xP = round(rand(0,1+N-N)*a*30)/30 yP = round(rand(0,1+N-N)*b*30)/30 Expliquemos a expressão acima, considerando "a" e "b" como as medidas, dadas em centímetros, dos lados do retângulo ABCD :
Finalmente, após a obtenção das coordenadas do pixel à , usamos as opções "Transferência de Medidas" e "Reta Paralela" para obtermos o ponto P, conforme a figura A. Na figura B, temos um exemplo de um conjunto de 2005 pontos obtidos pelo dispositivo que acabamos de descrever. A duração desta simulação foi de aproximadamente 2 minutos, utilizando um computador PC, 400MHz, 32Mo, conectado em rede. Urna de Pixeis
Seja ainda a experiência aleatória "escolher um pixel ao acaso, dentro do retângulo ABCD", para a qual convencionamos que o resultado da experiência é um sucesso se "o pixel escolhido está no interior de AEFD". Ao dispositivo assim constituído chamaremos "Urna de Pixeis". Esta urna é uma reificação da Urna de Bernoulli que é o modelo construído para representar uma dada experiência aleatória. A probabilidade de obter um sucesso quando realizamos a experiência aleatória "escolher um pixel ao acaso, dentro do retângulo ABCD" pode ser dada pela razão entre as áreas dos retângulos AEFD e ABCD. Esta razão é expressa em unidades do sistema métrico ou por contagem do número de pixeis que forma cada um desses retângulos, o que pode ser feito graças à discretização destas superfícies feita pela interpretação didática de pixel apresentada na seção precedente. Podemos então escrever:
Introduzimos, assim, a probabilidade geométrica como instrumento teórico para a resolução de problemas de determinação ou de estimação de uma probabilidade. O uso do dispositivo "urna de pixeis" torna-se, assim, um instrumento eficaz para a introdução a esta probabilidade através de um enfoque experimental: ele assimila a proporção de bolas cuja cor representa o evento "sucesso" de uma experiênca aleatória ao conjunto de pixeis que compõem o retângulo AEFD graças à discretização das superfícies de cada um dos retângulos ABCD e AEFD. Nestas condições, uma simulação informática pode ser um instrumento eficaz para estimar a probabilidade procurada, quando as áreas das figuras em questão não são valores disponíveis, ou quando o seu cálculo é muito complexo. Para isto, basta realizar o estudo das freqüências relativas do evento "sucesso", obtidas através de um grande número de repetições desta simulação. A simulação realizada no quadro teórico da geometria dinâmica permite ao aluno construir ou modificar, ele mesmo, os parâmetros da simulação. Por exemplo, ele pode modificar as dimensões do retângulo ABCD através da manipulação de pontos livres na figura, ou ainda, modificar a posição do ponto E sobre o segmento [AB], modificando assim a probabilidade de obter um sucesso na realização da experiência aleatória. Esta forma de tomada de decisões, com base em conhecimentos adquiridos ou em via de aquisição, é o fator preponderante na diferenciação deste tipo de simulação de outras apresentadas por alguns softwares probabilistas ou por algumas "applets" de simulação de fenômenos aleatórios. Nestes, as únicas decisões permitidas ao aluno é a escolha do número de repetições da experiência e a ativação da simulação através do botão "Start". O jogo de Franc-Carreau, apresentado na seqüência deste trabalho, ilustra bem o tipo de atividade que estamos propondo para modelagem de situações aleatórias através do uso do dispositivo "urna de pixeis". O jogo de Franc-Carreau Este jogo foi estudado, pela primeira vez, no ano de 1733 pelo naturalista e matemático francês Georges-Louis Leclerc, conde de Buffon. O jogo consiste em lançar uma moeda sobre um piso em forma de mosaico, no qual todos os ladrilhos têm a mesma forma. Os jogadores devem apostar sobre a posição final dessa moeda: imobilizar-se-á completamente sobre um único ladrilho (posição "franc-carreau"), ou sobre uma ou mais juntas entre ladrilhos? Nossa seqüência didática tem início por uma demonstração concreta do jogo: o professor propõe o jogo à classe, lançando ele mesmo uma moeda sobre um papel quadriculado (cada quadrado com lados de 5,0 cm). Ele pode também propor a cada grupo uma folha com o mesmo tipo de quadriculado, para que esses grupos realizem alguns ensaios do jogo de Franc-Carreau.
O jogo é assim representado pela experiência aleatória "posicionar um círculo, ao acaso, cujo centro encontra-se no interior do quadrado ABCD". Consideramos como evento "sucesso" o resultado: "o disco está em posição Franc-Carreau". O problema que o aluno deve resolver é de determinar uma Urna de Bernoulli que represente esse jogo, passando pela explicitação da urna de pixeis que simula este modelo.
A resolução experimental consiste em animar o dispositivo de contagem N para iniciar a simulação informática, que deve fornecer uma série de resultados em número suficientemente grande para o estudo da freqüência relativa de sucessos assim obtidos. Esta simulação é feita graças ao uso de macro-construções do tipo "geometria lógica" que permitem a diferenciação entre os resultados obtidos em termos de sucesso ou fracasso. Na figura que foi proposta nesta atividade, utilizamos uma construção que fornece o valor "1" quando o resultado é do tipo "sucesso", e uma célula vazia na tabela quando o resultado é do tipo "fracasso". Estes resultados serão armazenados em uma tabela para, em seguida, serem transferidos para a planilha Excel, na qual será feita a contagem do número de pontos que se localizam dentro de EFGH assim como, o cálculo da freqüência relativa.
A comparação entre os resultados obtidos através destas duas técnicas descritas, geométrica e experimental, permite ao aluno uma validação operatória da solução que ele propõe. Esta possibilidade confere ao micro-mundo Cabri um status de gerador de resultados aleatórios confiáveis para uso na próxima atividade.
Por outro lado, a resolução geométrica não é acessível no caso do jogo A, devido à extrema complexidade do ponto de vista do emprego de noções matemáticas que ela exige. Conseqüentemente, resta aos alunos apenas a possibilidade de resolução experimental para uma estimação das chances de obter franc-carreau nesse jogo, estimação feita à partir do estudo da freqüência relativa de sucessos obtidos em um grande número de repetições do jogo. O dispositivo "urna de pixeis" é assim um instrumento para a resolução do problema proposto. Conclusão Os resultados desta pesquisa estão ainda em fase de análise. A aplicação da seqüência experimental ocorreu no ano letivo 1999-2000 do sistema francês de ensino. Os resultados indicam que os alunos do ensino fundamental já possuem os conhecimentos considerados como pré-requisitos, para a introdução à modelagem de situações aleatórias, quando a estratégia experimental é proposta como meio de resolução de problemas para estimar a probabilidade. A possibilidade de manipulação dos parâmetros da simulação revela-se um instrumento de validação operatória muito importante para a organização do raciocínio destes alunos. Durante as entrevistas que realizamos 2 meses após o fim da engenharia didática, os alunos espontaneamente utilizaram a comparação de resultados obtidos experimentalmente com os resultados obtidos através da estratégia geométrica, ou seja, a comparação das áreas. Assim, o dispositivo informático pode ser considerado pelos alunos como instrumento de resolução para o problema proposto de fornecer uma composição para o modelo de Urna de Bernoulli que representa o jogo de Franc-Carreau, mesmo quando as medidas das figuras apresentadas na tela não são conhecidas. Nestas entrevistas foi usada uma barra de menus especial do Cabri, da qual retiramos as opções de medida. Pudemos observar que os alunos entenderam o significado do resultado que eles propuseram sem a necessidade de mobilizar conhecimentos matemáticos complexos: foram suficientes os conhecimentos sobre áreas de figuras planas, sobre razão e proporção e, finalmente, sobre porcentagens e freqüências relativas. Acreditamos que isto deve-se ao fato de utilizarmos um enfoque experimental, fundamentado na simulação realizada pelos próprios alunos das experiências aleatórias que eles devem modelar. Bibliografia e Referências [1] Brousseau G. (1986) Fondements et méthodes de la didactique des mathématiques. In Recherches en didactique des mathématiques, vol.7.2, pp. 33-115. Grenoble : La Pensée Sauvage. [2] Chevallard Y (1989). Le passage de l’arithmétique à l’algèbre dans l’enseignement des Mathématiques au Collège – Perspectives curriculaires : la notion de modélisation. In Petit X. n°19, pp.43-72. Grenoble : IREM de Grenoble. [3] Henry M. (1997). La notion de modèle et modélisation dans l’enseignement. In Enseigner les probabilités au Lycée. Pp. 77-84. Reims : IREM de Reims. [4] Laborde C. (1994) Enseigner la Géométrie : permanences et révolutions. In Bulletin APMEP n°396, pp.523-548. |
Como
escolher um pixel ao acaso em uma figura Cabri? Esta possibilidade
existe graças ao uso do gerador aleatório "Rand",
acessível através do uso da calculadora existente em Cabri.
Limitaremo-nos à escolha de um pixel ao acaso no interior
de um retângulo ABCD, como o da figura ao lado. Através da
opção "Distância e Comprimento" na barra de menus
do Cabri, pode-se obter as medidas dos lados AB e AD deste
retângulo. Na figura, essas medidas são representadas pelos
valores « a » e « b », expressos em centímetros.
Seja o
retângulo ABCD, o ponto P criado pelo dispositivo descrito
no item acima, e seja um segmento [EF], perpendicular ao segmento
[AB] de tal forma que o ponto E pertence ao segmento [AB]
e o ponto F ao segmeneto [DC]. 
Em
seguida, vem a proposição do jogo em computador: os alunos
têm acesso à figura ao lado em uma tela do Cabri II. Esta
figura já é resultante de uma modelagem, pois o piso em mosaico
(ou a folha de papel) aparece na tela representado por um
único quadrado: aquele sobre o qual se situa o centro do círculo
que representa a moeda imobilizada. 
Existem
duas técnicas de resolução possíveis que são acessíveis aos
alunos do ensino fundamental: a resolução geométrica e a resolução
experimental. Abordaremos primeiramente a resolução geométrica,
que consiste em considerar a probabilidade como sendo a razão
formada pelas áreas dos quadrados EFGH e ABCD, conforme figura
ao lado. Neste tipo de resolução, o quadrado EFGH representa
o conjunto de todas as posições possíveis de centro P que
resultam no evento "sucesso", enquanto que ABCD
representa o conjunto formado por todas as posições possíveis
desse ponto P.
Propomos
então aos alunos, a substituição do círculo usado na simulação
do jogo Franc-Carreau por um triângulo eqüilátero com rotação
aleatória em torno de seu centro. O novo problema consiste
em escolher um dos jogos com: o círculo ou o triângulo, para
o qual eles acreditam ter maiores chances de obter um sucesso,
ou seja, de obter a posição "franc-carreau". Os
alunos devem justificar a escolha pela explicitação da urna
de pixeis que representa cada um desses jogos. Os comprimentos
dos lados de cada um dos quadrados, assim como os raios de
cada uma das figuras, círculo e triângulo, têm medidas distintas,
de forma a invalidar uma estratégia de comparação das razões
entre as áreas das figuras que compõem cada um dos jogos A
e B.