|
Comunicações Científicas
RESOLUÇÃO DE EQUAÇÕES DE TERCEIRO GRAU ATRAVÉS DE CÔNICAS Autores:
Rosana Nogueira de Lima* Resumo Este trabalho teve por objetivo estudar métodos geométricos e algébricos de resolução de equações de terceiro grau, observando cada um deles. Para isso, construímos uma seqüência didática, enfatizando o método geométrico de Omar Khayyam (1050-1130), matemático árabe do século XII. Utilizamos também a fórmula de Cardano e o dispositivo de Briot-Ruffini para resolver equações cúbicas. Com os resultados obtidos, vemos que o quadro geométrico dificilmente é usado pelos alunos ao tentar resolver algum problema proposto. Ao final da seqüência didática, os alunos que a estudaram tinham condições de escolher qual método usar, levando em conta, também, o quadro geométrico. Abstract The objective of this work is to study geometric and algebraic methods of solving a third degree equation, taking each one. A didactic sequence was structured, focusing the geometric method of Omar Khayyam, Arabian mathematician from XII century. We also used Cardano’s formula and Briot-Ruffini system to solve cubic equations. The results show that the geometric framework is hardly used by students to solve any problem. In the end of the didactic sequence, the students who analised it had conditions to choose which method they would rather use, taking into consideration the geometric framework as well. Introdução Em nosso estudo histórico, vimos que os matemáticos iniciavam suas pesquisas tentando desenvolver fórmulas para a resolução de equações de graus dois e três, para depois procurar ampliá-las para graus maiores. Ao observarmos livros didáticos referentes à terceira série do Ensino Médio, porém, percebemos que o estudo de equações polinomiais se faz generalizando resultados teóricos para equações de grau n, sem apresentar um estudo específico. Um questionário foi elaborado, então, e aplicado a alunos de cursos de graduação em ciências exatas, a fim de observarmos e levantarmos possíveis dificuldades por eles enfrentadas na resolução de equações de terceiro grau, e, além disso, verificarmos como eles as resolvem. Constatamos que os métodos apresentados em livros didáticos não são utilizados. Vimos que os alunos têm grandes dificuldades em resolver equações de terceiro grau. A construção do gráfico de funções de terceiro grau e a necessidade de um método algébrico eficiente para qualquer equação cúbica são os principais problemas por eles levantados. A falta de hábito em mudar de quadros tende a levar os estudantes a preferir utilizar meios algébricos de resolução nos problemas que são apresentados a eles. São raras as vezes em que vemos em livros didáticos incentivo a tentativas de utilizar recursos geométricos na solução de atividades, tais como construção do gráfico da função relacionada à equação que se pretende resolver. A nosso ver, o jogo de quadros tem o papel de abrir novos horizontes e aprimorar raciocínios matemáticos. Perder tais reforços pode vir a acarretar maiores dificuldades ou mais trabalho para o estudante. Nosso trabalho visa propor, através do estudo de resolução de equações de terceiro grau, um meio de transportar conhecimentos algébricos para o quadro geométrico, numa tentativa de desenvolver habilidades em tal quadro. Escolhemos utilizar equações de grau três pois elas nos dão a possibilidade de encontrar suas raízes reais por meios algébricos e geométricos, além de trazer soluções históricas aparentemente desconhecidas entre os estudantes. Levantamos, durante nossos primeiros estudos, as seguintes questões:
Para verificar a validade ou não de nossas hipóteses, construímos uma seqüência didática com o objetivo de apresentar métodos de resolução de equações de terceiro grau (algébricos e geométricos), levando o aluno a compará-los e a tirar suas próprias conclusões sobre as vantagens e desvantagens de cada um. Enfatizamos, nesta seqüência, o método geométrico grego, sistematizado por Omar Khayyam, baseado em intersecção de curvas cônicas. A escolha deste se deu por se tratar de um método que faz uso do quadro geométrico, pouco trabalhado nos livros didáticos por nós estudados. Faremos uso de Cabri-géomètre para o estudo das atividades em que construções geométricas se fazem necessárias. Fundamentação Teórica Baseamos nosso trabalho em alguns conceitos da Didática da Matemática Francesa. Iniciamos com a transposição didática de Yves Chevallard, procurando possíveis problemas que os alunos pudessem ter, a fim de escolhermos a abordagem que daríamos ao trabalho. O jogo de quadros de Régine Douady foi importante na medida em que usamos métodos geométricos e algébricos de resolução de equações cúbicas. A dialética ferramenta-objeto, também parte da teoria de Douady, foi usada para a construção da seqüência. Não passamos por todas as fases dessa dialética, deixamos de lado a familiarização e a complexificação da tarefa, por não fazer parte do objetivo de nossa seqüência didática. A teoria sobre os registros de representação de Raymond Duval nos auxiliou a perceber as confusões entre registro e objeto feitas pelos alunos, e a procurar o registro predominante entre eles: equação ou gráfico. Além disso, nossa seqüência necessitava da mudança de registro ao passarmos de um quadro a outro. Por último, temos o contrato didático de Guy Brousseau, ao percebermos os diferentes comportamentos dos alunos, tanto em relação ao professor que estava presente, quanto ao conhecimento. Analisamos, também, a influência que esse contrato exerce sobre as respostas dos alunos. Metodologia Fizemos um estudo histórico, procurando diferentes métodos de resolução de equações cúbicas descobertos por matemáticos através dos tempos, sua utilidade em cada época e se haveria interesse em trazê-los para a sala de aula. Um estudo de manuais didáticos foi necessário para observarmos como neles se apresentam as equações de terceiro grau. Analisamos também a proposta curricular do Estado de São Paulo. Aplicamos um questionário a 33 alunos de primeiros e segundos anos dos cursos de Matemática, Ciência da Computação e Engenharia Mecânica, a fim de levantarmos suas concepções (isto é, o saber disponível) sobre os métodos de resolução de equações de terceiro grau por eles conhecidos. Analisamos os dados colhidos por meio de softwares de análise implicativa de variáveis estatísticas, e obtivemos alguns resultados preliminares, dentre eles estão:
Construímos
uma seqüência didática, retomando métodos de resolução de
equações cúbicas, como a fórmula de Cardano e dispositivo
de Briot-Ruffini, e enfatizando o método geométrico sistematizado
por Omar Khayyam. Este método consiste em tomar uma equação
de terceiro grau Aplicamos esta seqüência a duas turmas: uma de alunos do primeiro semestre de Ciência da Computação, e outra a alunos ao final do terceiro ano do Ensino Médio. Utilizamos Cabri-géomètre para auxiliar o uso de métodos geométricos. Por que usar Cabri-géomètre? As atividades de nossa seqüência que necessitavam de construções geométricas foram estruturadas para serem feitas em Cabri-géomètre I. Este software foi usado na primeira aplicação da seqüência. Na segunda aplicação, foi usado o software Cabri-géomètre II por estar disponível no laboratório da escola em que a seqüência foi estudada. Tomamos o cuidado, entretanto, de impossibilitar o uso de ferramentas de Cabri-géomètre II que não existem em sua primeira versão, tais como "eixos e coordenadas", "cônicas" e "calculadora". A utilização de Cabri-géomètre se deu pelas inúmeras possibilidades que este software nos oferece por se tratar de um ambiente aberto, isto é, por permitir o desenvolvimento de atividades que levem o aluno à exploração, levantando hipóteses que serão ou não validadas mais tarde. Entre os fatores determinantes de Cabri-géomètre, podemos destacar:
Algumas atividades Atividade Encontro Objetivo: Encontrar valores de x em que duas funções f e g dadas tenham mesma imagem. Pretende-se que, ao resolver algebricamente, o aluno encontre uma equação de terceiro grau que não possa resolver com os métodos que conhece. Cabri-géomètre, então, auxilia na construção de seus gráficos em um mesmo plano cartesiano. Introduz-se, assim, o método de Omar Khayyam.
Atividade Omar Khayyam Objetivo: Institucionalizar o método de Omar Khayyam e compará-lo com os já estudados pelo aluno.
Ao estudar a atividade Encontro, os alunos procuraram igualar f(x) a g(x), como esperávamos. Ao encontrar uma equação de terceiro grau, a primeira medida a ser tomada foi tentar resolvê-la algebricamente. Como não foi possível, procuraram, com ajuda de Cabri-géomètre, construir o gráfico destas duas funções em um mesmo plano cartesiano, influenciados por atividades anteriores. Perceberam que, desta maneira, era possível encontrar um intervalo que contivesse as raízes procuradas. Para a atividade Omar Khayyam, então, bastava reestruturar a equação dada, de modo a conseguir as equações de uma parábola e uma hipérbole a fim de representá-las graficamente e também obter intervalos para as raízes requeridas. Principais Resultados Mesmo após o estudo de nossa seqüência didática, percebemos que os alunos ainda estão muito ligados ao quadro algébrico. A mudança deste para o quadro geométrico só acontece após tentativas algébricas de resolução do problema proposto. A fórmula de Cardano é descartada. Os alunos declaram não se sentirem a vontade para usá-la pois ela é de difícil memorização, pode levar a cálculos com números complexos ou mesmo cálculos numéricos complicados para serem feitos sem uma calculadora. O Construtor Universal de Equações (desenvolvimento geométrico que constrói o gráfico de funções polinomiais de grau n) foi fundamental para a descoberta do gráfico de funções polinomiais de terceiro grau, para que os alunos conhecessem suas características. Para usar o dispositivo de Briot-Ruffini é necessário saber uma raiz da equação em questão. Isto desqualifica, muitas vezes, o uso deste método para resolver uma equação de terceiro grau. O método de Omar Khayyam foi escolhido, pelos alunos que estudaram nossa seqüência didática, como o de uso garantido, caso as tentativas algébricas de resolução não funcionem. Com ele, é possível saber o número de raízes reais que uma equação possui e encontrar um intervalo que as contenha. Conclusões Voltando às nossas questões de pesquisa, verificamos quais as respostas que nosso trabalho trouxeram para elas:
Acreditamos que sim, já que apresentamos métodos algébricos e geométricos de resolução para equações de terceiro grau.
O aluno, agora, tem capacidade de discernir qual método usar, dependendo da equação que ele têm à mão.
Sim. Não só em relação aos números complexos, como prevíamos, mas também com cálculos numéricos difíceis de serem realizados sem o auxílio da calculadora.
Sim, pois possibilita que o aluno visualize a quantidade de raízes reais que a equação tem, além de mostrar um intervalo em que ela está contida. É possível que métodos geométricos tenham sido os primeiros a serem utilizados para a resolução de equações e, entre eles, está o método de Omar Khayyam. Esse é um método que nos possibilita verificar a existência de raízes reais da equação cúbica que se quer resolver, nos mostra quantas elas são, e permite que se obtenha um intervalo que as contém. É importante salientar, entretanto, que, com esse método, não podemos obter as soluções da equação de terceiro grau inicial, já que estamos trabalhando com um método geométrico, e esse tipo de método nos dá apenas aproximações para as raízes. Limitações, como a explicitada acima, fizeram com que métodos geométricos, pouco a pouco, dessem lugar a métodos algébricos de resolução de equações, pois eles resolvem totalmente o problema. Do ponto de vista didático, os métodos geométricos são muito úteis para introduzir o estudo de resolução de equações de terceiro grau, e ampliar as possibilidades que o aluno tem de resolver uma equação cúbica. Os métodos geométricos são válidos na medida em que mostram, ao aluno, um raciocínio diferente, que pode ser usado na resolução de problemas. No nosso caso, o método de Omar Khayyam traz um fator que pode motivar o aluno: a possibilidade de visualização das raízes da equação, esboçando os gráficos de uma parábola e uma hipérbole em um mesmo plano cartesiano. Bibliografia
*
Mestre em Educação Matemática pela PUC-SP. Professora
da PUC-SP *
* Doutor em Educação Matemática pela Universidade Rennés,
França. Professor da PUC-SP
|
e transformá-la em uma equação cujo primeiro membro
é a equaçào de uma parábola e o segundo membro é a equação
de uma hipérbole, da seguinte forma: 
.
Ao construirmos os gráficos dessas duas funções em um mesmo
plano cartesiano, temos suas intersecções como soluções da
equação cúbica inicial.
e 
.
Existe algum valor de x para o qual as duas funções têm
a mesma imagem? Se existe, dê estes valores e justifique
sua resposta; se não, explique porquê.
.
É possível transformar esta equação em uma outra formada
por equações de duas cônicas? Justifique. Encontre as raízes
desta equação.