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Propostas de Atividade
UM
MÉTODO DE CONSTRUÇÃO DE UM POLÍGONO REGULAR DE 17 LADOS COM
CABRI-GÉOMÈTRE II
Resumo: A "construção com régua e compasso" é um dos tópicos fascinantes da Matemática, no qual a Geometria e a Álgebra se mostram indissociáveis. Em particular, a construtibilidade de um polígono regular de 17 lados com régua e compasso é um famoso problema resolvido por Gauss (em 1796, com apenas 19 anos), para cuja prova não se conhecem outros argumentos a não ser algébricos. Neste trabalho apresentamos uma construção de um polígono regular de 17 lados, que se baseia na construtibilidade de expressões algébricas que envolvem raízes quadradas, a partir de um círculo auxiliar fixado com centro dado, e retas do plano, como aparece no livro de Klein, "Famous Problems of Elementary Geometry". A construção consiste essencialmente em construir um lado de um polígono regular de 17 lados por meio de construções sucessivas de raízes de equações de 2º grau, que vêm a ser os períodos associados às raízes da equação ciclotômica x16+ x15 + ...+ x2 + x + 1 = 0, que foi o método de Gauss e que foi generalizado na sua famosa obra Disquisitiones arithmeticae. Apesar de se tratar de um assunto clássico, esta construção geométrica não é muito conhecida o que nos motivou a divulgar. O Cabri-Géomètre apresenta os recursos adequados para executar passo a passo as construções sucessivas, produzindo um resultado de excelente qualidade tanto didática como visual.
Abstract: The "construction with ruler and compass" is one of the fascinating subjects in Mathematics, in which Geometry and Algebra are undetachable. In particular, the construction of a regular polygon of 17 sides is a famous problem solved by Gauss (in 1796, when he was only 19 years old), and for its proof no argument but algebraic is known yet. In this work we present a construction of a regular polygon of 17 sides, based upon the possibility of construction of algebraic expressions involving square roots, using only a fixed circle with given center, and the straight lines of the plane, as it is shown in Klein’s book, "Famous Problems of Elementary Geometry". The construction consists basically in constructing one side of a regular polygon of 17 sides through successive constructions of the roots of certain quadratic equations, which turn to be the periods associated to the roots of the cyclotomic equation x16+ x15 + ...+ x2 + x + 1 = 0, which was the method of Gauss and generalized in his masterpiece Disquisitiones arithmeticae. Although it concerns about a classical subject, this method of construction is not well known, and this fact motivated us to present it. The Cabri-Géomètre has the appropriate tools to perform step by step the successive constructions, producing an outcome of excellent quality for teaching purposes and for visual effects as well.
Justificativa e Objetivos do Trabalho: A construção com régua e compasso é um assunto fascinante que mostra a unidade da Matemática, usando os argumentos da Álgebra para resolver um problema de Geometria. Por isso, este assunto não é estudado obviamente num primeiro curso de Geometria, e é esperado que o seja num curso de Desenho Geométrico. Porém, se por ocasião deste curso os alunos não tiverem cursado ou pelo menos estiverem cursando simultaneamente a disciplina de Estruturas Algébricas, fica quase impossível tentar desenvolver este problema tão importante quanto bonito de maneira satisfatória. Também, se o assunto for abordado numa classe de Estruturas Algébricas sem o devido conhecimento das técnicas de construções geométricas, os argumentos podem ficar apenas algébricos e a parte efetiva de construção pode ficar subentendida. O objetivo deste trabalho é apresentar um método de construção de um polígono regular de 17 lados de forma elementar, seguindo as idéias básicas de Gauss neste caso particular, tentando entender geometricamente os argumentos algébricos. A solução de Gauss foi um dos marcos no avanço da Matemática e a Álgebra que se desenvolveu a partir destas idéias não é elementar ([1], [2]). Entretanto uma implementação desta tão importante idéia baseia-se simplesmente num método de construção de raízes de equações de 2º grau e sucessivas aplicações desta construção em equações determinadas e apropriadas ([3]). A parte visual é realizada usando os recursos do Cabri-Géomètre que são poderosos auxiliares nesta tarefa, pela sua adequação às técnicas de desenho geométrico aliadas à excelente interface computacional. O resultado obtido pode ser utilizado com eficiência numa aula de Estruturas Algébricas para abordar a questão de resolubilidade de equações por radicais associada à construtibilidade de números algébricos, assim como pode ser utilizado numa aula de Desenho Geométrico para ilustrar a importância de argumentos puramente algébricos na justificativa de uma construção de um polígono regular de 17 lados com régua e compasso.
Fundamentação teórica: A parte teórica que iremos resumir em seguida segue de perto [3]. Para maiores detalhes sobre a parte algébrica da construção com régua e compasso, referimo-nos a [2]. Um polígono regular de n lados está sempre inscrito num círculo, com os vértices distribuídos equidistantemente sobre o círculo. Assim, os ângulos centrais correspondentes a cada dois vértices consecutivos medem igualmente 2p /n radianos. Usando a noção de n-esima raiz da unidade no plano complexo, temos que os vértices de um polígono regular de n lados inscrito num círculo de raio unitário e centro na origem, correspondem a partir de 1, aos pontos na forma polar: e k = cos (2k p /n) + i sin (2k p /n), (k = 1, 2 ..., (n – 1)). Além disso, fazendo e 1 = cos (2p /n) + i sin (2p /n), teremos e k = (e 1 )k . Em particular, se n = 17, teremos 16 vértices distintos e k, além do vértice correspondente ao número complexo 1. Assim, vemos que a construção de um ângulo central de 2p /17 radianos (ou equivalentemente, a construção do seu cosseno) corresponde a encontrar as raízes complexas da equação x17 = 1 ( as raízes da unidade), ou ainda da equação ciclotômica x16+ x15 + ...+ x2 + x + 1 = 0 (*). A idéia central do método que iremos apresentar consiste no seguinte princípio: "Tomando-se uma raiz primitiva ao módulo 17, as 16 raízes da equação (*) podem ser colocadas num ciclo, seguindo uma ordem determinada pela congruência". Lembramos que uma raiz primitiva ao módulo 17 é um número a que satisfaz a congruência a s º +1 (mod.17) de tal modo que o menor valor de s satisfazendo a relação é s = 17 –1 = 16. No nosso caso, o número 3 é uma raiz primitiva ao módulo 17. Os sucessivos inteiros rs, na lista 3s º rs (mod.17) determinam a ordem das raízes e k, k= 1, 2,...16. Mais especificamente, a ordem cíclica das 16 raízes são: e 3, e 9 , e 10, e 13, e 5, e 15, e 11, e 16, e 14, e 8, e 7, e 4, e 12, e 2, e 6, e 1, obedecendo ao ciclo dos restos rs , módulo 17. O método de Gauss consiste em decompor este ciclo em períodos contendo 8, 4, 2 e 1 raízes respectivamente, correspondendo aos divisores de 16. Os períodos são assim calculados:
z1 = 16 + 1, z2 = 13 + 4, z3 = 15 + 2, z4 = 9 + 8, z5 = 11 + 6, z6 = 10 + 7, z7 = 5 + 12, z8 = 3 + 14. Estes períodos assim obtidos são calculados sucessivamente como raízes de certas equações de 2º grau. Observe-se que para r e 17- r temos : e r = cos r (2p /17) + i sin r (2p /17) e e 17- r = cos r (2p /17) - i sin r (2p /17), donde e r + e 17- r = 2 cos r (2p /17), portanto um número real. Então todos os períodos zi, i = 1, 2, ..8, correspondendo às somas dos restos r e 17 – r, são obtidos como 2 cos r (2p /17), onde r corresponde à respectiva soma. Além disso, y1 = z1 + z2, y2 = z3 + z4, y3 = z5 + z6, y4 = z7 + z8. E também, x1 = z1 + z2 + z3 + z4 e x2 = z5 + z6 + z7 + z8. Agora, a construção dependerá do cálculo de z1 = 2 cos (2p /17). Efetuado este cálculo e usando o fato que z1 é raiz de uma equação de 2º grau, construtível, deduz-se o lado de um polígono regular de 17 lados. O método consiste em mostrar algebricamente que z1 e z2 são as raizes da equação Z2 –y1 Z + y4 =0, (4) onde z1 > z2. Portanto precisaremos dos valores de y1 e y4. Cálculos simples mostram que: y1 e y2 são raizes da equação Y2 – x1 Y –1 = 0, com y1 > y2; (2) y3 e y4 são raizes da equação Y2 – x2 Y –1 = 0, com y4 > y3; (3) que por sua vez, dependem do cálculo de x1 e x2. Temos que : x1 e x2 são raizes da equação X2 + X –4 = 0, com x1 > x2. (1) Para maiores detalhes, consulte o Capítulo ** de [K]. Para a implementação da construção, basta uma construção elementar sobre as raízes de uma equação de 2º grau.
Descrição da Metodologia: Toda a implementação é feita usando Cabri-Géomètre, seguindo o seguinte roteiro.
Síntese dos resultados: Vamos chamar a seguinte construção de Construção Básica. A construção das raízes de uma equação de 2º grau (com duas raízes reais) da forma, X2 – pX + q = 0, é realizada utilizando um círculo unitário de centro (0,1) no plano xy, isto é, um círculo de equação: X2 + Y(Y- 2) =0. Constrói-se então este círculo no plano de trabalho do Cabri. Seja uma reta tangente ao círculo pelo ponto A = (0, 2), paralela ao eixo OX. Sobre esta reta, à direita de A, constrói-se um segmento de comprimento 4/p , usando o Cabri e o método de desenho geométrico de construção da Quarta Proporcional (consulte por exemplo [4]). Sobre o eixo OX, à direita de O, constrói-se usando o mesmo método um segmento de comprimento q/p. As extremidades dos segmentos são unidos por uma reta. Cada um dos dois pontos de intersecção do círculo inicial com esta reta determina sobre o eixo OX um ponto, através da reta que o liga ao ponto A. Os pontos x1 e x2 sobre o eixo OX determinados desta maneira são as raízes da equação.
A demonstração analítica deste resultado é um simples exercício de Geometria Analítica e Álgebra Elementar de equação de 2º grau. Esta construção, por si só, pode ser interessante como uma atividade para ilustrar a aplicação dos recursos de Geometria Analítica do Cabri-Géomètre. Conforme o roteiro descrito na Metodologia, basta aplicar agora a Construção Básica para obter x1, x2, y1 e y4 a fim de obter a construção final de z1. A primeira construção é então considerar a Construção Básica para p = -1 e q = - 4 na equação (1). Temos a seguinte visualização da construção.
As sucessivas construções são implementadas utilizando as raízes construídas na etapa anterior. A figura final em que aparece efetivamente a raiz z1 é dada pela seguinte:
Finalmente temos o polígono de 17 lados.
Principais conclusões: A utilização do Cabri-Géomètre permitiu produzir este trabalho que pode ser aproveitado em atividades com objetivos múltiplos dentro do ensino de Matemática: i) num curso de Desenho Geométrico, para executar com rapidez e precisão uma construção geométrica de um problema clássico; ii) num curso de Estruturas Algébricas, para ilustrar a parte geométrica de um problema algébrico fundamental; iii) num curso de Geometria Analítica, para ilustrar a visualização geométrica de raízes de equação de 2o grau e estudar a prova analítica; iv) ainda, num curso de História da Matemática, para ilustrar um marco no avanço da Matemática, inclusive para exibir o polígono que Gauss desejou que fosse gravado na pedra do seu túmulo, e que está em exibição num monumento em sua homenagem em Brunswick ( [1]).
Referências Bibliográficas:
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Confira
a figura a seguir:
