Propostas de Atividade

CONSTRUÇÃO DA PARÁBOLA CONHECIDOS TRES PONTOS (dois simétricos) COM O AUXÍLIO DO CABRI-GÉOMÈTRE
MARCOS LUIZ LOURENÇO^(*) e RUY MADSEN BARBOSA(**)

I N T R O D U Ç Ã O

O software CABRI é um excelente instrumento para se construir gráficos de algumas curvas, especialmente as cônicas; seja utilizando no CABRI II a opção "cônicas " seja usando no CABRI I ou II a opção Lugar Geométrico (LG).

Em Lourenço (1998 a) o autor apresentou a descoberta do LG- parábola dos ortocentros dos triângulos com uma base fixada e a altura correspondente constante ( o vértice oposto percorre uma paralela à base). Lourenço em 1998 b, com a colaboração de Barbosa, fornece uma prova empírica e investigação detalhada dos elementos principais dessa parábola com o próprio CABRI e também com um estudo analítico. Na ocasião encontrou-se referência a esse lugar geométrico apenas na obra de Aracil (1947), e atualmente os autores o encontraram em Schumann / Green (1994, p.136-138), num tratamento incompleto, desde que esses autores apenas informam: "This we can just recognise as a parabola . (Where are the focus and directrix of this parabola?) This investigation is completed sucessfully! ".

Neste trabalho os autores utilizam a técnica desse LG no sentido inverso, fornecendo a construção da parábola quando são conhecidos apenas 3 dos seus pontos, com 2 deles simétricos ( em relação ao seu eixo) e um arbitrário.

É também dada, como aplicação, uma sucessão de atividades educacionais (com o CABRI) de construção da curva quando é dada a função do segundo grau y = a x² + b x + c com os coeficientes a, b e c numéricos.

A C O N S T R U Ç Ã O F U N D A M E N T A L

Sejam dados na tela : A e B os dois pontos simétricos e Q um ponto arbitrário (Fig.1).

1. Construir a reta de A e Q;
2. Construir a reta s por B perpendicular à reta de A e Q;
3. Construir a reta de B e Q;
4. Construir a reta t por A perpendicular à reta de B e Q;
5. Determinar o ponto C de interseção de s e t;
6. Construir por C a reta r paralela ao segmento AB;
7. Criar sobre r um ponto D (que será o ponto móvel);
8. Criar os segmentos AD e BD;
9. Determinar o ortocentro H do D ABD;
10. Construir o LG de H movendo D sobre a reta r ( O lugar geométrico é a parábola procurada).

Fig.1

A T I V I D A D E S E D U C A C I O N A I S

Conhecendo-se a equação y = a x² + b x + c, com os coeficientes a, b e c numéricos, pode-se facilmente construir com o CABRI a curva representativa correspondente, usando a construção fundamental anterior.

Para facilitar a construção deve-se inicialmente construir um sistema de coordenadas na tela. O CABRI II já dispõe de um sistema de eixos, o que não acontece no CABRI I, entretanto, os autores já descreveram um processo de criação de um ambiente cartesiano, ver por exemplo BARBOSA e LOURENÇO (1998 a , 1998 b), portanto o que será a seguir proposto em forma de aplicações educacionais, independe do software Cabri empregado.

Em cada uma das atividades educacionais, organizadas em ordem crescente de dificuldades para o educando, a preocupação do usuário é a de determinar 3 pontos nas condições de aplicar a construção fundamental.

At.1- Seja representar a função y = x² – 5 x + 6.

Temos D = 1> 0, com c = 6 (pequeno)

Raízes: x’ = 2 , x"= 3; criar no sistema cartesiano os pontos A(2,0) e B(3,0);

Criar mais o ponto Q com x = 0, isto é Q(0,6).

Aplicar a construção fundamental para os 3 pontos.

Nota: Em qualquer das atividades uma boa marcação desses 3 pontos sobre os eixos se obtem no CABRI II com o recurso da opção " Coordenadas", e no CABRI I pode ser obtida com a opção "Medir".

Fig.2

At.2- Seja representar a função y = - x² – 3 x + 4

Temos D = 25 > 0, com c = 4 (pequeno)

Usar o procedimento sugerido na At.1

At.3- Seja representar a função y = 2x² – 16 x + 24.

Temos D = 64 > 0, c = 24 (grande).

Raízes: x’= 2, x"= 6; criar no sistema cartesiano os pontos A(2,0) e B(6,0)

É conveniente não usar x = 0 , mas um outro valor de x intermediário entre as raízes, mas próximo de uma delas, por exemplo x = 5 que fornece y =- 6; marcar o ponto Q(5,-6).

Aplicar a construção fundamental para os 3 pontos (Fig.3).

At.4- Seja representar a função y = -x² +x +12

Temos D = 49 >0, c = 12 (grande)

Usar o procedimento sugerido na At.3.

At.5- Seja representar a função y = x² + 4 x + 5.

Temos D = -4 < 0, c = 5 (pequeno)

Calcular as coordenadas do vértice: x_v = -2, y_v = 1; marcar o ponto Q(-2,1) .

Marcar o ponto B de abscissa x = 0, isto é B(0,5).

Construir o simétrico A de B em relação à reta do vértice Q perpendicular ao eixo das abscissas (no Cabri II com a opção "reflexão", e no Cabri I com a opção "ponto simétrico")

Usar a construção fundamental para os 3 pontos (Fig.4).

At. 6- Seja representar a função y = -x² +6 x – 9

Temos D = 0, c = - 9 ( considerado grande)

Raíz : x = 3; criar o ponto Q(3,0).

É conveniente usar x = 1 que fornece y = -4; criar o ponto A(1,-4)

Construir o simétrico B de A em relação à reta perpendicular ao eixo das abscissas no ponto Q..

Usar a construção fundamental para os 3 pontos (Fig.5).

Fig3

Fig4

Fig5 

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

1. ARACIL,C.M. – 1947, Problemas de Geometria Analítica, Dossat, Madrid.
2. BARBOSA,R.M. e LOURENÇO,M.L. – Nova investigação de aplicabilidade do CABRI-géomètre-I: Geometria Analítica, ANAIS VI ENEM, V.2, P.720-727, SBEM/UNISINOS, 1998, S. Leopoldo/ RS.
3. BARBOSA,R.M. e LOURENÇO,M.L. – Ambiente Cartesiano CABRI-géomètre: Geometria Analítica, Revista de Educação Matemática,4, 67-71,1998.
4. LOURENÇO,M.L.- Descoberta de um lugar geométrico suposto original, com auxílio do software Cabri-géomètre, Resumos V EPEM , SBEM/SP – FIRP-IBILCE/UNESP, 1998, p. 195, São José do Rio Preto/SP.
5. LOURENÇO,M.L. – Investigando o lugar geométrico dos ortocentros dos triângulos de altura constante com o auxílio do CABRI-géomètre. UNIVERSITAS- Ciências Exatas, v.8 – 1, 63-69, 1998.
6. SCHUMANN,H. and GREEN,D. – 1994, Discovering Geometry with a Computer – using Cabri-géomètre, Chartell-Bradtt.

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(*) Dr. Marcos Luiz Lourenço- Docente, pesquisador do GEPISE/UNIRP, assistente doutor aposentado da UNESP. End. Res. – R.São João 2351,Boa Vista, 15010-000,São José do Rio Preto,SP-Brasil – E.mail: marcosll@unirpnet.com.br

(**) Dr.Ruy Madsen Barbosa – Docente, pesquisador do GEPISE/UNIRP, titular aposentado da UNESP. End. Res.- R. Santa Ernestina,707, Jd. Guarany, 13095-320, Campinas, S.P- Brasil – E.mail: rmbarbosa@bitline.com.br

RESUMO

O software CABRI é um excelente instrumento para se construir gráficos de algumas curvas, especialmente as cônicas; seja utilizando no CABRI II a opção "cônicas" seja usando no CABRI I ou II a opção Lugar Geométrico (LG).

Em Lourenço (1998 a) o autor apresentou a descoberta do LG - parábola dos ortocentros dos triângulos com base fixada e a altura correspondente constante (o vértice oposto percorre uma paralela à base). Lourenço em 1998 b, com a colaboração de Barbosa, fornece uma prova empírica e uma investigação detalhada dos elementos principais dessa parábola com o próprio CABRI e também com um estudo analítico.

Neste trabalho os autores utilizam a técnica desse LG no sentido inverso, fornecendo a construção da parábola quando são conhecidos apenas 3 dos seus pontos, com 2 deles simétricos (em relação ao seu eixo) e um arbitrário.

É também dada, como aplicação, uma sucessão de atividades educacionais de construção da curva, quando é dada a função do segundo grau y = ax² + bx + c com os coeficientes a, b e c numéricos.

ABSTRACT

CABRI software is an excellent tool to draw graphs of some curves, specially the conic ones, by using the "Conic" option on CABRI II or "Locus" (LG) on CABRI I or II.

In Lourenço (1998 a) the author presented the discovery of the LG-parabola of the orthocenters of the fixed base triangles with the corresponding constant height (the opposite vertex runs on a line parallel to the base). Lourenço (in 1998 b), with the collaboration of Barbosa, provides an empirical proof and detailed investigation of the principal elements of this parabola using CABRI I, as well as through an analytical study.

In this paper, the authors use this LG technique in the inverse direction, providing the construction of the parabola when only three of its points are known, two of them being symmetrical to theirs axis and one is an arbitrary number.

It is also presented, as an application, a set of educational activities, using CABRI, to design the curve when the second degree function of y=ax²+bx+c is given, with a, b and c numeric coefficients.