Propostas de Atividade

SOBRE A FUNÇÃO QUADRÁTICA E SUA VARIAÇÃO DINÂMICA NO SOFTWARE CABRI –Géomètre
MARCOS LUIZ LOURENÇO(*) e RUY MADSEN BARBOSA(**)

I N T R O D U Ç Ã O

Em Barbosa/Lourenço (1998) os autores, além de introduzir um ambiente cartesiano, no CABRI –I, forneceram uma macro para retas dadas pela equação na forma y = a x + b, a e b quaisquer, que permite dinamismo com o modo agarrar-arrastar modificando, ao interesse do usuário, o coeficiente angular ou o coeficiente linear, ou ambos, com um procedimento fácil, possibilitando a realização de várias atividades sobre o tema Retas em Geometria Analítica.

Barbosa/Lourenço (1999) incorporam ao estudo anterior construções para o CABRI- I - II para três funções com módulos: y = ½ a x + b ½ , y = ½ a x + b½ + c , e

y =½ ½ a x + b½ + c½ , também com variação dinâmica e contínua dos gráficos.

Em trabalho submetido a este CABRI World – 99 os autores, com base no lugar geométrico dos ortocentros de triângulos de base fixada e altura constante, fornecem uma sucessão de atividades educacionais para a representação gráfica da função y = a x² + b x + c, com a, b e c numéricos.

Neste trabalho os autores apresentam a construção da representação cartesiana de y = a x² + b x + c, com o resultado principal de sua variação dinâmica contínua da parábola conforme a variação correspondente dos coeficientes a, b e c. As construções empregadas baseiam-se em relações métricas, e ao final o dinamismo obtido com uma escala dos coeficientes utiliza a própria construção do trabalho anterior do lugar geométrico dos ortocentros.

C O N S T R U Ç Ã O

Damos a seguir as respectivas sucessões de passos para a construção da parábola de y = a x² + b x + c. Inicialmente determinaremos um segmento de medida b² ; em seguida os segmentos orientados correspondentes a 4ac, b² – 4ac, (b² – 4ac ) / 4 a ; posteriormente determinaremos o ponto de coordenadas ( - b / 2 a, 0), e o vértice da parábola.

A seguir construiremos dois pontos simétricos pertencentes à parábola, que com seu vértice possibilitará empregar a construção inversa do lugar geométrico dos ortocentros dos triângulos de base fixada e altura constante, conforme outra nossa comunicação ao evento. Finalmente com essa construção determinaremos o ortocentro que gerará a parábola da função quadrática.

A – CONSTRUÇÃO DO SEGMENTO IGUAL A b² . (Fig.1)

1. Construir o sistema de eixos (X,Y);
2. Marcar o ponto O’ sobre o eixo das abscissas (preferível bem afastado da origem fundamental, aproveitando um dos pontos do eixo)’;
3. Construir por O’ a perpendicular ao eixo-X (será denominada daqui para frente eixo-Z ou eixo dos coeficientes);
4. Transferir para o eixo-Z a escala de unidades (optativo);
5. Marcar sobre o eixo-Z pontos arbitrários a, b e c;
6. Criar a reta r dos pontos (1,0) e (0,1);
7. Construir a reta r1 // r por b determinando b’ na interseção com o eixo-X;
8. Marcar sobre o eixo-X o ponto 1’ tal que O’1’ seja unidade positiva;
9. Construir a reta r2 de b e 1’;
10. Construir a reta r3 // r2 por b’, determinando na interseção com o eixo-Z o ponto b2;

Nota 1: O segmento O’b2 tem por medida b² .

Fig 1

B- CONSTRUÇÃO DE 4ac (Fig.2)

1. Construir r4 // r por a, determinando A na interseção com o eixo-X;
2. Construir no eixo-X o ponto A’ com a opção simétrico de O’ em relação ao ponto A;

13. Construir no eixo-X o ponto A" com a opção simétrico de O’ em relação ao ponto A’;

Nota 2: O segmento orientado O’Á" corresponde ao valor algébrico de 4a .

14. Construir a reta r5 dos pontos c e 1’;

15. Construir a reta r6 // r5 por A", determinando na interseção com o eixo-Z o ponto N ;

Nota 3: O segmento orientado O’N corresponde ao valor algébrico de 4ac.

Nota 4: O segmento orientado Nb2 corresponde a b² – 4ac.



Fig.2

C- CONSTRUÇÃO DE (b² – 4ac) / 4 a (Fig. 3)

16. Construir a reta r7 // eixo-Z pelo ponto A";
17. Construir a reta x’ // eixo-X por N , determinando N’ na interseção com r7 ;
18. Construir a reta z’ // eixo –z por 1’ , determinando o ponto 1" na interseção com x’ ;
19. Construir a reta r8 por b2 e N’;
20. Construir a reta r9 // r8 por 1", determinando o ponto V1 na interseção com o eixo – Z;

Nota 5: O segmento orientado NV1 corresponde ao valor algébrico de (b² – 4ac)/4 a .

 



Fig.3

D- CONSTRUÇÃO DO PONTO (-b / 2 a ,0) (Fig.4)

21. Construir a reta s1 // eixo-X pelo ponto a, determinando o ponto a’ na interseção com o eixo-Y. Observação: a’= ( 0, a)
22. Construir a reta s2 // eixo-X pelo ponto b, determinando o ponto B’ na interseção com o eixo-Y. Observação: B’= (0,b)
23. Construir o ponto 2 a’ pela opção simétrico da origem O em relação ao ponto a’. Observação: 2 a’ = (0, 2 a)
24. Construir a reta s3 // r pelo ponto 2 a’ , determinando o ponto P = (2 a, 0) na interseção com o eixo –X. Observação : P = (2 a, 0)
25. Construir a reta s4 por B’ e P;
26. Construir a reta s5 // s4 pelo ponto (1,0) , determinando o ponto P’ na interseção com o eixo-Y. Observação: P’ = (0, b / 2 a)
27. Construir o ponto P" simétrico de P’ em relação à origem O .

Observação: P"=( 0, - b / 2 a)

28. Construir s6 // r por P", determinando o ponto R na interseção com o eixo-X;

Nota 6: O ponto R é o ponto procurado (-b / 2 a, 0).



Fig.4

E – CONSTRUÇÃO DO VÉRTICE DA PARÁBOLA (Fig. .5)

29. Construir pelo ponto R a reta f1 perpendicular ao eixo – X;
30. Construir a reta f2 pelos pontos N e R;
31. Construir a reta f3 // f2 pelo ponto V1, determinando V2 na interseção com f1. Observação: O ponto V2 = (-b/2 a , D / 4a), onde D = b² – 4ac
32. Construir o ponto Vp simétrico de V2 em relação ao eixo-X.

Nota 7: O ponto Vp é o vértice da parábola (-b / 2 a, - D / 4 a).

F- CONSTRUÇÃO DE UM TRIÂNGULO AUXILIAR (Fig.5)

33. Construir a reta w1 // eixo-X pelo ponto c , determinando o ponto T na interseção com o eixo-Y. Observação: T = ( 0, c).
34. Construir o ponto T’ simétrico de T em relação ao eixo f1 da parábola;
35. Construir as retas w2 dos pontos T e Vp, e w3 dos pontos T’ e Vp;
36. Com a reta w4 ^ TVp determinar o ponto K em f1;

Nota 8: O D TT’K é o triângulo auxiliar procurado .

 



Fig.5

 

G- CONSTRUÇÃO DA PARÁBOLA (Fig. 6)

Preliminares:

A seguir usamos a partir do D TT’K auxiliar a construção fundamental dada em nossa outra comunicação ao evento, que utiliza a construção inversa do lugar geométrico dos ortocentros dos triângulos de base fixa e altura constante.

37. Construir a reta p // eixo – X pelo ponto K;
38. Marcamos um ponto K’ sobre p;
39. Construir o D TT’K’ e o seu ortocentro H;

Observação: O ponto H pertence à mesma parábola da função quadrática.

40. Construir o L.G. dos ortocentros desse triângulo ( gerado por H movendo K’);

Nota 9: Esse LG é a parábola representativa da função y = a x² + b x + c , para os particulares a, b e c marcados sobre o eixo –Z.

Nota 10: Sugerimos que durante a construção, após cada fase intermediária, oculte-se as retas e pontos auxiliares não necessários para a etapa seguinte.

Fig 6

V A R I A Ç Ã O D I N Â M I C A

Concluída a construção anterior pode-se passar ao procedimento de alteração do visual modificando os posicionamentos dos pontos a, b e c. Variando continuamente o valor de cada coeficiente o usuário observará a variação dinâmica correspondente da parábola. Esta visualização , em nosso entender, tem um alto valor educacional na aprendizagem. Por exemplo, citamos entre tantas outras atividades , a observação da existência ou não de raízes reais, a concavidade, e o ponto de máximo ou de mínimo. Melhores resultados são obtidos usando o ítem 4 da fase A ( transferência da escala de unidades para o eixo-Z).

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

BARBOSA,R.M. e LOURENÇO,M.L.- Ambiente Cartesiano CABRI-géomètre : Geometria Analítica, In: Revista de Educação Matemática, 4, 67-71,1998.

BARBOSA,R.M. e LOURENÇO,M.L.- Sobre funções módulos e sua variação dinâmica no software CABRI-géomètre, In: UNIARA, (a ser publicado em 1999)

LOURENÇO,M.L. e BARBOSA,R.M.- Construção da parábola conhecidos três pontos (dois simétricos) com auxílio do CABRI-géomètre, Comunicação ao CABRI World-99.

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(*) Dr. Marcos Luiz Lourenço- Docente, pesquisador do GEPISE/UNIRP, assistente doutor aposentado da UNESP. End. Res. – R.São João 2351,Boa Vista, 15010-000,São José do Rio Preto,SP-Brasil – E.mail: marcosll@unirpnet.com.br

(**) Dr.Ruy Madsen Barbosa – Docente, pesquisador do GEPISE/UNIRP, titular aposentado da UNESP. End. Res.- R. Santa Ernestina,707, Jd. Guarany, 13095-320, Campinas, S.P- Brasil – E.mail: rmbarbosa@bitline.com.br

RESUMO

Os autores deste trabalho já apresentaram, neste mesmo congresso a comunicação intitulada "construção da parábola conhecidos três pontos com dois simétricos" na qual utilizaram a propriedade dos ortocentros de triângulos de altura constante. O propósito da presente comunicação é apresentar uma nova aplicação da construção da parábola a partir do conhecimento de três de seus pontos, desta vez, desenvolvendo um procedimento que permite a construção dinâmica de parábolas a partir dos coeficientes numéricos da função y = a x² + b x + c. Não será difícil perceber, depois de construída a parábola, a grande aplicação educacional da construção apresentada, uma vez que, por seu dinamismo, permite a visualização da variação contínua do gráfico em função de sus coeficientes. Esta comunicação se constitui em uma inequívoca e valiosa demonstração da aplicabilidade do uso do CABRI em nível de primeiro e segundo graus.

Abstract

The authors of this paper have already presented, in this same congress, another study entitled "Design of a parabola with three known points, two of which are symmetrical" where they used the property of orthocenters of constant height triangles. The objective of this paper is to present a new application of the parabola construction based on the knowledge of three of its points, developing this time a procedure that permits the dynamic construction of the parabola from the numeric coefficients of the y=ax²+bx+c function. It will not be difficult to realize, once the parabola is already designed, the great educational application of the construction presented, so that its dynamics allow the visualization of the continuous variation of the graph as a result of its coefficients. This paper is an unambiguous and valuable demonstration of the applicability of CABRI use in junior and senior high school programs.