Propostas de Atividade

CONSTRUCCIONES CON REGLA Y COMPÁS EN EL ENTORNO CABRI
Raquel Santinelli y Liliana Siñeriz

Apresentamos un estudo teórico sobre construções com régua e compasso e sobre as variações que tem lugar quando as mesmas são realizadas num software CABRI. Como ilustração, desenvolvemos diferentes tipos de procedimentos da resolução de um problema de construção de triângulos.

We present a theoretic treatment about rule and compass constructions, and the variants that take place when they are made with CABRI. As an example, we show several resolution procedures of a triangle construction problem.

Acerca de las construcciones exactas.

Dentro de la geometría euclídea clásica, las construcciones exactas son aquellas independientes de la medida, basadas en propiedades de perpendicularidad y congruencia, en las que los únicos instrumentos permitidos son la regla no graduada y el compás.

Hay una gran variedad de objetos geométricos que pueden construírse con regla y compás: circunferencias, rectas perpendiculares y paralelas a una dada, punto medio de un segmento, distancia entre dos puntos y de un punto a una recta, triángulos, cuadriláteros, algunos polígonos, y objetos de naturaleza más compleja generados por la combinación de los anteriores.

Todo punto de una parábola es construíble con regla y compás, ya que puede ser determinado en base a propiedades de perpendicularidad y congruencia; sin embargo, la parábola, como lugar de puntos, no puede ser construída con regla y compás. En lo que sigue nos dedicaremos al estudio de problemas que implican lugares geométricos construíbles con regla y compás.

Un objeto es construíble con regla y compás si se demuestra su existencia a partir de un encadenamiento lógico de proposiciones basadas en los cinco axiomas de Euclides. (y la la continuidad del plano, asumida tácitamente). Llamamos prueba de constructibilidad a dicha demostración.

En consecuencia, una construcción exacta es un algoritmo compuesto de un conjunto de pasos que permiten resolver el problema mediante la construcción de lugares geométricos con regla no graduada y compás. Una construcción es exacta si y sólo si es justificable mediante una prueba de constructibilidad.

Acerca de los instrumentos de trazado.

Si bien el contexto determina los instrumentos de trazado, y complejiza más o menos el algoritmo de construcción, el objeto matemático construíble con regla y compás está unívocamente determinado por su prueba de constructibilidad. Este hecho permite independizarse hasta cierto punto de los instrumentos de trazado. Por lo tanto, podemos ampliar el alcance del concepto de construcción exacta, incluyendo también entre las mismas a aquellas en las que se usan regla y escuadra para el trazado de paralelas, escuadra para el de perpendiculares, regla marcada para copiar segmentos.

En el contexto CABRI, los instrumentos de trazado son virtuales, son comandos y macros del software que permiten trazar en la pantalla rectas, círculos, perpendiculares, paralelas, mediatrices, bisectrices, etc. Por tanto las construcciones exactas CABRI van a implicar el uso de estos comandos del software.

Construcciones optimales.

El compás físico permite transportar circunferencias, segmentos y ángulos. Cuando en el contexto CABRI se requiere dibujar una circunferencia de centro y radio dados, se procede de la siguiente manera: primero se copia el radio situando uno de sus extremos en el punto dado (centro), para lo cual se requiere hacer previamente una construcción especial "copia de segmentos" (que podría ser incluída en el menú como macro) y luego se traza un círculo por dos puntos (los extremos del radio).

Si no incluimos en el menú la "copia de segmentos", es posible que los resolutores recurran para tal efecto a la medida. En ese caso, para trazar una circunferencia de centro y radio dados, se debe proceder de la siguiente manera: se traza un segmento de igual medida que el radio con origen en el punto dado (centro) y luego se traza un círculo por dos puntos (los extremos del segmento). A este procedimiento lo llamaremos "compás Cabri con medida" y con su empleo también se pueden obtener construcciones exactas (justificables mediante prueba de constructibilidad). No obstante, las llamaremos construcciones optimales porque se hace uso de la medida, aunque en forma muy limitada y específica.

Al respecto, se requiere que la medida sea usada exclusivamente para fijar un conjunto de datos iniciales, y que dicho recurso no se vuelva a usar en todo el transcurso de la construcción. Por ejemplo, si se trata de "construir un triángulo isósceles dados la base y el lado", podríamos fijar la base y encontrar el tercer vértice como intersección de dos circunferencias del mismo radio con centros en los extremos de la base. Al efectuar esta construcción en el contexto CABRI, aplicando dos veces el "compás con medida" para trazar las circunferencias, el resultado no es una construcción exacta. Esto es así porque la asignación de las medidas de los radios de las dos circunferencias son acciones independientes, es decir, al variar una de las medidas, la otra no se altera consecuentemente para mantener la congruencia. Por tanto, no puede usarse la versión del compás CABRI con medida para copiar dos veces el mismo dato dentro de la construcción.

Una construcción alternativa que resulta optimal, sería:

Fijar la base A, mediante medida. Trazar un segmento cp en el extremo c de A, de la misma medida que B.Trazar un círculo por dos puntos, de centro c y radio cp. Trazar la mediatriz de A. Encontrar el punto a de intersección entre la circunferencia y la mediatriz. Unir a con los extremos de A.

Otra construcción optimal, sería:

Fijar la base A mediante medida, con extremos c y b. Trazar la mediatriz de A, y ubicar un punto a sobre la mediatriz. Trazar un círculo por dos puntos con centro en c y radio ca y desplazar a sobre la mediatriz para obtener ca = B. Unir a con c y b.

Grados de libertad.

Una de las mayores riquezas del CABRI consiste en obtener dinámicamente todas las figuras que se generan al variar arbitrariamente los datos, a partir de un sólo episodio de construcción. Entonces, una forma de verificar que se ha realizado una construcción correcta consiste en comprobar que una variación arbitraria de los datos iniciales produce figuras que conservan las características requeridas. Es decir, la construcción resulta independiente de las medidas particulares de los datos.

Si las construcciones anteriores se realizaran en un entorno de lápiz y papel, corresponderían a construcciones exactas. Sin embargo, en el entorno CABRI, aparecen algunas cuestiones para observar y analizar. Por ejemplo, ¿qué sucede si se varía la magnitud de los datos en las construcciones optimales anteriores? En la primera, si A se modifica desde su extremo b, el dato B permanece constante. Si B se modifica desde p, A permanece constante:

En la segunda construcción, el lado A no puede modificarse sin alterar consecuentemente al lado B, por tanto sólo puede modificarse en forma independiente el lado B moviendo el vértice a.

Analicemos las causas de esta restricción. El extremo a del segmento B es un punto tomado sobre la mediatriz de A, siendo B la hipotenusa del triángulo rectángulo amc. Al modificar la longitud del lado A moviendo el extremo b, se modifica el cateto mc, pero no el cateto ma, por lo tanto varía la hipotenusa B. Luego, el lado A no puede modificarse desde ninguno de sus extremos sin afectar el dato B. Esto muestra que, en general, si ambos extremos de un segmento copiado mediante la medida ya pertenecen a la figura, este dato dependerá de otros, fijados o construídos anteriormente. Para modificar el dato A habrá que proceder como lo hacemos en el entorno de lápiz y papel, recomenzando la construcción. Decimos entonces que se ha perdido un grado de libertad. Si el problema tiene n datos y hay x de los n datos que pueden modificarse arbitrariamente, decimos que la construcción es optimal con x grados de libertad. Por ejemplo, las construcciones presentadas tienen, respectivamente, 2 y 1 grados de libertad.

Las construcciones optimales con x grados de libertad, cuando x£ n, generan con un solo episodio de construcción, las figuras que se obtienen al variar arbitrariamente x datos dejando n-x fijos. Para que la construcción sea optimal, x debe ser por lo menos 1, es decir, debe haber al menos un dato que pueda ser modificado sin que se alteren las demás condiciones requeridas en el problema. Esto está relacionado con la construcción de lugares geométricos sobre un dato que se toma como punto de partida.

En resumen, llamaremos construcción optimal CABRI a una construcción justificada mediante prueba de constructibilidad, en la que se utiliza la medida para copiar los datos y que permite resolver el problema con al menos un grado de libertad.

Acerca del grado de complejidad de las construcciones optimales.

La complejidad de la construcción optimal y los grados de libertad asociados, varían según el dato que se tome como punto de partida. Ilustraremos este aspecto mediante el siguiente ejemplo:

Construir un triángulo dados el lado A, el lado B, y la altura H_A .

1.Si se parte del lado A:

El problema se reduce a encontrar el tercer vértice, el cual se determina como intersección de dos lugares geométricos, una circunferencia con centro en c y radio B y una recta L paralela al lado A a una distancia H_A del mismo. Utilizando los comandos del software disponibles en el menú, incluyendo la medida para copiar los datos, los pasos de la construcción optimal serían los siguientes:

- Se copia A, por tanto se "fijan" los vértices b y c.

- Se traza una perpendicular a A y se ubica sobre ésta un punto x a una distancia H_A.

- Se traza la paralela L, al lado A por x.

- Se traza la circunferencia C (c, B)

- El vértice a es la intersección de L y de C(c,B).

 

L x x a x

H_A B H_A B H_A

A A c b c A b

Si se varía el lado B (radio de la circunferencia), el lado A y la altura quedarán inalterados (el extremo a variando sobre L). Si se varía desde x la altura H_A quedarán inalterados A y B (a moviéndose en la circunferencia C(c,B)). El lado A puede modificarse desde el extremo b que no compromete al lado B ni a la altura.

En este caso la modificación de uno de los datos no altera a los dos restantes; es decir hay tres grados de libertad, pues se puede modificar independientemente cada uno de los datos, barriendo así todas las ternas posibles manteniendo las condiciones pedidas, a partir de un solo episodio de construcción.

2.Si se parte del lado B:

El problema se reduce a encontrar el vértice b, no obstante la construcción se complejiza. Es necesario construir una figura auxiliar, un triángulo rectángulo de hipotenusa B y cateto H_A. Con esta figura auxiliar se puede hallar la recta que contiene al vértice buscado. La intersección de dicha recta con C(c,A) es la solución del problema. Los pasos de la construcción optimal serían:

- Se copia B, por tanto se "fijan" a y c.

- Se construye la figura auxiliar (triángulo rectángulo): por el punto medio m del lado B se traza C(m, B/2); se traza la circunferencia C(a, H_A); el vértice p buscado de este triángulo está en la intersección de ambas circunferencias (y es el pie de la altura H_A)

- Se traza la recta cp.

- Se traza la circunferencia C(c, A).

- El vértice buscado b es la intersección de la recta cp y la circunferencia C(c,A).

Los datos que pueden variarse sin que se alteren los restantes son H_A por p, y el lado A por x. Por lo tanto se tienen dos grados de libertad. Observamos que ambos extremos de B están ligados a los otros dos datos: a es extremo de H_A y c es extremo de A. Si se modifica B por uno de sus extremos, se modifican consecuentemente H_A o A.

Una construcción alternativa podría ser trazar la circunferencia C(a,H_A) y hallar la tangente a la misma que pasa por c. Entonces el vértice b es la intersección de dicha recta con la circunferencia C(c, A).

3.Si se parte de la altura :

Quedan "fijos" el vértice a y el pie de la altura, entonces el problema se reduce a determinar los vértices b y c. Los pasos de construcción son:

- Se copia H_A, por lo tanto quedan determinados el vértice a y el pie p de la altura.

- Se traza la circunferencia C(a, B).

- Se traza por p una perpendicular P a H_A. El vértice c es la intersección de P con C(a,B).

- Se traza la circunferencia C(c, A). El vértice b es la intersección de P con C(c, A).

En este caso, el único dato que puede modificarse en forma independiente es A, por x.. El extremo p de H _A está ligado a c, que es extremo de A. El extremo a de H_A es común B. Por lo tanto, el único dato que puede variarse sin que se alteren los restantes es el lado A (moviendo el extremo b). Hay un solo grado de libertad.

Comentarios finales.

El trabajo en el contexto CABRI presenta características propias, no comparables con las del contexto clásico de lápiz y papel.

Por un lado, el software ofrece prima facie la creación del "círculo por dos puntos", equivalente a un compás "colapsable", es decir un compás que no puede transportar distancias como lo haría un compás físico (en lápiz y papel, uno podría imaginarlo como un compás que se cierra cuando sus dos puntas se separan del papel). Este compás colapsable del CABRI puede hacerse equivalente al compás físico si se provee una macro de copiado de segmentos o si se lo complementa con un uso apropiado de la medida, tal como lo hemos expuesto anteriormente, lo cual da lugar a las construcciones que hemos llamado optimales.

Por otro lado, el CABRI ofrece la posibilidad de cambio dinámico de los datos del problema a partir de un sólo episodio de construcción, no obstante hemos visto cómo esta posibilidad está ligada a los grados de libertad del algoritmo.

También es importante, en los dos contextos considerados y desde un punto de vista didáctico, tener en cuenta el grado de complejidad de la construcción, que depende del dato que se considere como punto de partida. Estimamos que la discusión y comparación en clase de procedimientos alternativos favorece la comprensión de los conceptos geométricos y la adquisición de estrategias de resolución de problemas.

Bibliografía

Chevallard, Y. y M. Jullien (1991): "Autour de L'enseignement de la Geometrie au College (Première part)", Petit x, Nº 27, 41-76.

Polya, G. (1966): Mathematical Discovery, New York, John Wiley and Sons.

CENTRO REGIONAL UNIVERSITARIO BARILOCHE
UNIVERSIDAD NACIONAL DEL COMAHUE
ARGENTINA
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