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Propostas de Atividade
UM
ESTUDO GEOMÉTRICO DE CLASSIFICAÇÃO DE ISOMETRIAS DO PLANO COM
CABRI-GÉOMÈTRE II
Resumo: No nível elementar de ensino, o conceito de "congruência de figuras" da Geometria Plana é intuitivamente compreendido quando se diz que um movimento rígido (isometria), que não deforma comprimentos nem ângulos, leva uma figura sobre outra que lhe é congruente. Esta maneira de abordar a congruência está relacionada ao importante princípio de invariância sob ação de grupos de transformação sobre os espaços, que constitui um tópico em que mais uma vez a beleza da unidade da Matemática se revela através da Álgebra e da Geometria. Porém, o ensino tradicional de Geometria Plana não aborda em geral este aspecto, mesmo sendo este mais intuitivo que a conhecida definição de congruência através de axiomatização. A questão mais simples que surge ao abordar este assunto, mesmo quando restrito somente à Geometria Plana, é precisamente saber o que é uma isometria (do plano) e quem são todos os movimentos rígidos (do plano) que realizam a congruência de figuras, isto é, devemos considerar o problema de definição e classificação. Neste trabalho começamos com o movimento básico que é uma reflexão segundo uma reta, e apresentamos um estudo visual de isometrias como composição de reflexões segundo retas do plano. O resultado mais importante é o teorema que diz que "uma isometria do plano se reduz a no máximo 3 reflexões". E a partir disso, a classificação final é obtida. Este assunto, quando abordado durante o curso de licenciatura em Matemática, é em geral visto somente numa segunda disciplina não obrigatória, e consideramos oportuno apresentar um trabalho de apelo visual elementar que facilite este estudo nas aulas de Geometria e que possa ser usado para divulgar este importante aspecto da Geometria. O Cabri-Géomètre apresenta as ferramentas adequadas para executar o desenvolvimento deste estudo.
Abstract: The concept of "congruence of figures" is well understood at elementary school level if one says that a rigid motion (isometry), which does not modify lengths nor angles, takes a given figure onto another figure, which is said to be congruent to the original one. This way of considering the congruency is related to the important principle of invariance under the action of transformation groups on spaces, a topic in which the beauty of the unity of Mathematics is revealed once again, through Algebra and Geometry. Nevertheless, the traditional classes of Plane Geometry do not follow these ideas in general, even though this point of view is more intuitive than the well known definition of congruency by axioms. The simplest question that arises when one deals with this issue, even when restricted to Plane Geometry, is to define precisely what a (plane) isometry is, and what are all the (plane) rigid motions that produce congruency of the figures. In other words, we must consider the problem of definition and classification. In this work, we start with the Basic Motion which is a reflection through a line, and present a visual study of isometries as compositions of reflections. The most important result is the theorem which says that "a plane isometry reduces to at most 3 reflections". From this result, the final classification is obtained. This subject, when it is studied in a Undergraduate Instruction for Teachers in Mathematics, is in general seen during a second, not mandatory discipline, so we considered it appropriate to present this work with elementary visual appeal, which could be used with didactical purposes in Geometry classes, or else to be used to help turning this important topic of Geometry more popular. The Cabri-Géomètre is equipped with nice and adequate tools to perform the development of this study.
Justificativa e Objetivos do Trabalho: O conceito de congruência de figuras é um tópico central no ensino elementar de Geometria, e é intuitivamente compreendido se for explicado através de figuras que podem ser superpostas através de movimentos rígidos que não deformam comprimentos ou ângulos, as isometrias. Esta maneira de abordar a congruência está relacionada ao importante princípio de invariância sob ação de grupos de transformação sobre os espaços, que constitui um tópico em que mais uma vez a beleza da unidade da Matemática se revela através da Álgebra e Geometria. Este importante aspecto da Geometria foi desenvolvido por Klein (o seu famoso Erlanger Programm), por volta de 1872 ([3]). Sem precisar avançar neste ponto de vista, mesmo em nível de cursos de licenciatura, uma motivação para a teoria de grupos poderia bem começar com os grupos de rotação, ou ainda grupos de matrizes 2x2, fazendo interpretações geométricas, e depois considerar exemplos que vêm da teoria de transformações lineares em Álgebra Linear, a fim de ilustrar esta indissociabilidade da Matemática. Porém, o ensino tradicional de Geometria Plana não aborda em geral este aspecto, mesmo sendo este mais intuitivo que a conhecida definição de congruência através de axiomatização, e ainda oferecer inúmeras idéias de aplicações para problemas da vida real. Algumas escolas abordam este assunto numa segunda disciplina de Geometria, geralmente não obrigatória. O objetivo deste trabalho é apresentar um estudo elementar do problema de classificação das isometrias no plano, através da visualização, produzindo um material que possa ser utilizado como apoio didático para o desenvolvimento de demonstrações teóricas durante as aulas de Geometria, ou ainda para auxiliar simplesmente na compreensão de propriedades geométricas de movimentos no ensino mais elementar, utilizando para isso a potencialidade e facilidade das ferramentas do Cabri-Géomètre. Cabe dizer que as etapas das construções através da visualização são por si um roteiro para o raciocínio dedutivo que se segue para a demonstração do teorema principal: "Uma isometria do plano se reduz a no máximo 3 reflexões". A partir deste teorema a classificação dos movimentos fica determinada pelo estudo das composições de 1, 2 e 3 reflexões. É interessante observar que o próprio Cabri-Géomètre traz dentro das suas ferramentas as funções que executam os movimentos rígidos do plano, sendo de extrema utilidade didática para explorar as propriedades geométricas dos diferentes conceitos nas aulas de Geometria e Desenho, e também em inúmeras atividades de geometria no ensino elementar. Por isso mesmo, podemos mais uma vez justificar o estudo da classificação destes movimentos rígidos dentro do ensino da Geometria.
Fundamentação teórica: A abordagem teórica que iremos adotar será a mais fácil em termos intuitivos e se baseia na construção geométrica, não tendo a intenção de ser completa ou a mais rigorosa. As referências básicas são [2] e [5]. Em [2], todo o desenvolvimento teórico está feito. Outras referências muito boas, com o espírito que tratamos este assunto, são [1] e [4]. Também estaremos considerando Geometria Euclidiana Plana, isto é, com o axioma das paralelas. Iremos utilizar o conceito de isometria como segue (cf. [5]). Uma isometria no plano é uma bijeção do plano no próprio plano que preserva distância entre dois pontos. (Estaremos considerando uma situação menos geral que em [4]). Pode-se provar que uma isometria possui as seguintes propriedades: a) transforma uma reta em outra reta, b) preserva o paralelismo entre duas retas, c) preserva ângulos durante a transformação. Esta definição de isometria é conveniente para observar que realiza a congruência de figuras no sentido tradicional. O primeiro movimento geométrico que iremos considerar é a reflexão segundo uma reta no plano que é definida da maneira simples: Dada uma reta r, a reflexão segundo r é uma aplicação do plano em plano que associa a cada ponto A do plano o ponto simétrico A’ em relação à reta r. O ponto simétrico de A é o ponto A’ situado no semiplano de r oposto ao que contém A, de tal modo que a reta r seja a mediatriz do segmento AA’. Prova-se facilmente as seguintes propriedades de uma reflexão.
Temos portanto um exemplo básico de uma isometria. Um teorema importante que enunciamos sem demonstração (vide por exemplo o Apêndice de [2]) diz que "Toda isometria do plano é uma composição de reflexões segundo retas do plano". Assim temos uma definição razoável do que entendemos por isometrias do plano. Portanto o estudo segue através da análise do que ocorre com as composições de 2, 3 ou mais reflexões segundo retas. A análise para as composições envolvendo 2 e 3 reflexões é feita estudando todos os casos geométricos possíveis quanto às posições relativas entre as retas envolvidas. A visualização destes casos é essencial para compreender que as translações e as rotações são os movimentos correspondentes à composição de 2 reflexões, e quando a composição é de 3 reflexões, além dos movimentos já obtidos a única possibilidade é reflexão com deslizamento. A análise termina quando mostrarmos que "Todo movimento se reduz a no máximo composição de 3 reflexões". Assim temos um estudo visual de classificação de movimentos rígidos do plano.
Descrição da Metodologia: O estudo é essencialmente visual, sendo a parte teórica considerada uma atividade natural a ser preenchida durante o processo, à medida que a parte visual prossegue. Toda a implementação é feita usando Cabri-Géomètre, seguindo o seguinte roteiro.
Síntese dos resultados: Iniciamos apresentando a figura ilustrativa de uma reflexão, de acordo com a definição. As seguintes figuras são construídas facilmente usando as técnicas de Desenho Geométrico ([5]) e o Cabri-Géomètre. Podemos acompanhar as propriedades 1, 2 e 3 da reflexão citadas acima. Observe que a reflexão é uma isometria e realiza congruência de figuras no sentido habitual, como se vê na figura através de triângulos.
A seguinte figura corresponde a uma rotação de um ângulo a em torno de um ponto O, realizada como composição de duas retas a e b concorrentes em O , formando entre si ângulo a /2.
Os casos acima encerram o estudo de composição com 2 reflexões. Passamos ao estudo de composição de 3 reflexões. As possibilidades geométricas para 3 retas a, b e c no plano são: i) todas são concorrentes num único ponto; ii) todas são paralelas entre si; iii) duas são paralelas e a 3ª concorrente com elas; iv) são duas a duas concorrentes. Nos dois casos i) e ii), dizemos que as retas pertencem a um mesmo feixe. Nos casos iii) e iv), as retas não pertencem a um mesmo feixe. O resultado geométrico para os casos i) e ii) é que a composição resultante se reduz a uma reflexão segundo reta d do mesmo feixe, conforme as figuras a seguir.
No casos iii) e iv), em que as 3 retas não pertencem a um mesmo feixe, a composição consiste de 3 reflexões e o resultado se reduz a uma reflexão seguida de uma translação, chamada reflexão com deslizamento. A seguinte figura ilustra este movimento. É uma excelente atividade estudar todas as possibilidades geométricas e concluir que o movimento resultante é o mesmo.
Finalmente, o estudo de composições de 4 reflexões é realizada também mediante as possibilidades geométricas entre as posições das 4 retas a, b, c e d componentes. É interessante chegar à conclusão de que o resultado sempre pode ser reduzido a uma composição de 2 reflexões. Nas duas primeiras figuras as 2 reflexões são realizadas pelas retas s e d.
Nas duas seguintes situações, as 2 reflexões resultantes são realizadas pelas retas s1 e s2, sendo g uma reta auxiliar que pertence simultâneamente a dois feixes.
O caso em que dois feixes distintos são de retas paralelas recai num dos casos anteriores. O teorema principal é obtido pela aplicação sucessiva do estudo acima num movimento, reduzindo cada 4 reflexões na composição por 2 reflexões, passo a passo, terminando com composição de no máximo 3 reflexões. Finalmente, a classificação é obtida: "Um movimento no plano que realiza congruências é um dos seguintes tipos:
Principais Conclusões: O estudo da Geometria através de Transformações pode ser feito em diferentes níveis de rigor e profundidade, mas a compreensão visual é fundamental, ao mesmo tempo motivadora, para as demonstrações matemáticas do problema de classificação. O trabalho apresentado é de nível elementar, que consideramos apropriado para introduzir o assunto que é vasto e fascinante. Por exemplo, após este estudo de classificação, o conceito de isometria própria ou imprópria, que está relacionado com o conceito de orientação no plano, pode ser conduzido de forma facilitada. A estrutura de grupo/subgrupo nos movimentos é outro conceito que pode ser explorado visualmente usando este trabalho como recurso didático. Acreditamos que a utilização do Cabri-Géomètre abre novas perspectivas para o ensino de Geometria, tornando as atividades mais ricas e diversificadas.
Referências Bibliográficas:
Endereço dos Autores: Departamento
de Matemática |
A
seguinte figura corresponde a uma translação por um vetor v,
obtida como composição de duas retas r e s
paralelas, distante uma da outra segundo | v| / 2.
